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확률론 기말 범위 정리 정리 1 + SLLN 증명

서론확률론 과제를 해야 합니다.큰일 났습니다. 증명이고 뭐고 다 건너뛰고 정리만 보겠습니다. 대신 각 정리와 lemma마다 직관적인 설명을 곁들이겠습니다. SLLN은 특별히 증명하겠습니다. 시작합시다.(본 포스팅은 9개의 Theorem들과 5개의 Lemma 하나의 definition을 소개함으로 WLLN과 SLLN을 소개합니다.)본론Theorem1 - Kolmogorov's inequality theoremLet $\{X_n\}$ be a seq of indep r.v.s. with $EX_n = 0, var(X_n) = \sigma^2 Then, $\displaystyle P(\max_{1 \leq j \leq n} |S_j| \geq \epsilon) \leq \sum_{j=1}^n \frac{\s..

서론지난 포스팅에서는 확률변수란 무엇인지 배웠습니다.확률변수는 Real-Valued Measurable function이라고 할 수 있었죠! 이번 시간에는 이 확률변수들의 연산한 것도 확률변수가 됨을 보이겠습니다. 원래 연속함수를 확률변수에 씌워도 확률변수입니다만 그에 대한 것은 추후 포스팅하겠습니다. 오늘 확인할 내용은 총 4가지이고 아래와 같습니다. 체크해 보겠습니다.$c$ : constants1) $c+X$2) $cX$3) $X+Y$4) $XY$ 마지막 추가로 $\sup X_n, \inf X_n, \limsup X_n, \liminf X_n$도 알아보죠!본론If $X$ is a r.v., then $c+X$ is also a r.v. 상수배를 한 것도 확률변수라는데요. 직관적으로 당연합니다. 예를 ..

서론이번 시간에는 간단히 Random Variable에 대해 알아보겠습니다.우리는 평소에 정확한 정의 없이 이를 사용하곤 하는데요, 이번엔 이를 확실하게 정의하고 넘어가 보겠습니다. 간단하게 요약해 보면, 확률은 사실 사건을 측정한 것입니다. 여기서 확률변수란 그 측정에 대한 함수, 즉, measurable function을 의미합니다.(읽어도 모르겠다구요? 그럼 그냥 외워.라고 할 뻔.) 간단히 예시만 들고 넘어가 봅시다. 실수축 위에서 0부터 3까지의 길이를 측정해 봅시다. 혹은, 함수 높이는 1, 밑변은 3짜리 직사각형의 넓이를 측정한다고 해봅시다. 그럼 $\int_{[0,3]} 1 dx$을 구한다고 생각해 볼 수 있겠죠?그러면 위의 step function을 $\mathcal{f}$라고 해봅시다...

서론확률론 4번째 주제는 Borel Cantelli lemma의 첫번째 버전입니다. 정말 확률론에서 많이 쓰는 정리이기 때문에 확실히 알고 있을 필요가 있습니다. 오늘은 다음과 같은 순서로 내용을 알아봅시다.1. 집합의 limsup, liminf2. infinitely often(i.o.)3. Borel Catelli lemma 집합의 limsup부터 시작해봅시다. 본론1. Def limsup and liminfLet $A_i \in \mathcal{F} \space i \geq 1$.Then,$\displaystyle \limsup_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$$\displaystyle \l..

오늘 푼 문제는 위의 문제다. metric을 주어서 확률변수 간의 거리를 따질 수 있게 됐다.그냥 unclidian distance 줘도 될 것 같은데 이게 왜 필요할까?(a)(1)을 귀류법에 simple function을 적용해서 풀었다.다른 풀이로는 적분을 쪼개서 계산함으로 되는 것 같다. 포인트는 양수를 적분을 때 0이 나왔으면 0이라는 것. (2)은 쉽고(3)은 Case를 나눠서 풀었다. 나머지는 trivial하고 Case 3번 d(X,Z)>=d(X,Y),d(Y,Z)가 문제. Case로부터 유도한 부등식에서 그 식이 1보다 작음을 보이고, 삼각부등식으로 나눠서 풀었다. (b) 는 d(X_n,X)->0이면 적분을 쪼개고 $\frac{x}{1+x}$가 incresing임을 이용해서 부등식 전개하면 바..

서론과제 1번이 Durret 확률론 책의 1.3.1번이었는데요. 문제를 풀다보니 제가 잘못된 풀이를 했었습니다.본 포스팅에서는 그 풀이 과정에서 얻어낸 지식을 나누고자 합니다. 다음 Stack exchange의 도움을 많이 받았습니다.https://math.stackexchange.com/questions/4374444/the-preimage-of-the-intersection-of-sigma-algebras본론$\mathcal{A}$를 $\sigma$-field라고 합시다.이 때 measurable function $X$ 혹은 random variable $X$에 대해, $X^{-1}(\mathcal{A}) = \{(X \in A) : A \in \mathcal{A}\}$로 정의해봅시다. 그러면 ran..

서론푹 찍 확률론 세번째 글입니다. 이번엔 Dynkin's $\pi - \lambda$theorem인데 이전에 아래의 찍먹 측도론 포스팅에서 다룬 적이 있습니다.https://juhongyee.tistory.com/30 찍먹 측도론 3 Dynkin $\pi - \lambda$ theorem(Dynkin Pi-lambda theorem)서론지난 시간에는 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보았습니다. 그런데 이 정리에서 $\sigma$-finite라는 조건을 추가했을 때는 그 measure가 unique 하게 존재합니다.이는 Probability measure에서 일반juhongyee.tistory.com매우 중요한 정리이기 때문에 확률론에서 다른 notation들로 또 ..

서론오늘은 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보겠습니다. (완벽 증명) 이 정리는 정말 좋은 정리인데요! Ring에서 pre-measure를 잘 정의하면 이를 mesure로 잘 확장할 수 있다는 뜻입니다.  이 정리의 필요성에 대해 생각해 봅시다.어떤 $\Omega$의 $\mathcal{P} (\Omega)$에 대해 measure가 쉽게 정의되지 않습니다. Lebesgue measure에 대해 Vitali set을 생각해 보면 직관적으로 존재해야 할 것 같은 measure에도 그 값이 존재하지 않을 수 있죠. 그런데 Carathéodory's extension theorem은 이런 경우를 배제하고 measure가 잘 존재하도록 하는 방법에 대해 알려줍니다.한 번 그 과..

서론확률 측도(Probability Measure)가 대체 무엇일까 고민하던 나날 중 측도론(Measure Theory)를 공부해야겠다는 마음을 먹었습니다. 시간이 많이 않기 때문에 핵심만 훑으면서 일주일컷을 내려고 했지만... 진짜 대충만 알게 됐습니다 ㅋㅋㅋㅋ 그래도 아는 것 범위 내에서는 이해한 것 같아서 기록을 남겨두려 합니다. 본 포스팅은 https://www.youtube.com/@cachelackmathstatslectures7001 강의를 듣고 이해한 바를 중심으로 하고 있습니다. 본론일단 2024/07/04, 이 글을 쓰는 첫 날에 제가 이해하지 못하거나 아직 모르는 것을 서술해 보겠습니다. 1. Measureable의 직관적 정의Measureable의 정의가 다음과 같은데요.Set $A..

HTML 삽입 미리보기할 수 없는 소스 서론 correlation이란 무엇인지 알기 위한 여정 첫 번째는 조건부확률이다. 조건부확률은 조건이 달려있을 때의 확률이라는 것인데 어떻게 구할 수 있을까? 간단하게 알아보자. 조건부확률 정의 조건부확률이란 어떤 사건 B가 일어났을 때 A가 일어날 확률을 의미하는 것으로 $$P(B|A)$$로 쓴다. $P(B|A) =$$P(A∩B)\over P(B)$와 같이 쓸 수 있다. 왜? $P(A|B) =$$P(A∩B)\over P(B)$ 가장 기저의 개념을 생각해보자. 사건 A가 일어날 확률이란 일어날 수 있는 모든 사건들이 모여 있는 전체집합이 있어 일어날 수 있는 전체 사건들 중 A가 일어날 비율을 의미하는 것이다. 즉 S를 전체집합이라고 한다면 A가 일어날 확률은 $n..