수학3 3 적분과 기댓값의 코시 슈바르츠 부등식 (feat. 나의 증명 + 직관) 서론통계학에서 증명들을 마주하다보면 Cauchy-Schwartz를 많이 쓰게 됩니다.Vector에서의 Cauchy-Schwartz도 많이 쓰지만 기댓값에서의 Cauchy-Schwartz도 증명시 많이 사용합니다. 오늘은 간단하게 기댓값에서의 Cauchy-Schwartz inequality를 알아보죠. 본론우리는 Continuous Random Variable에 대해서만 증명을 하겠습니다.여기서 기댓값은 적분으로 정의된다는 사실을 우리는 알고 있습니다. 그래서 먼저 증명할 것은 적분의 Cauchy-Schwartz inequality입니다. 정리 1 Cauchy-Schwartz in integrationIf function $f,g : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ are contin.. 2025. 1. 16. 찍먹 측도론2 Carathéodory's extension theorem and proof 서론오늘은 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보겠습니다. (완벽 증명) 이 정리는 정말 좋은 정리인데요! Ring에서 pre-measure를 잘 정의하면 이를 mesure로 잘 확장할 수 있다는 뜻입니다. 이 정리의 필요성에 대해 생각해 봅시다.어떤 $\Omega$의 $\mathcal{P} (\Omega)$에 대해 measure가 쉽게 정의되지 않습니다. Lebesgue measure에 대해 Vitali set을 생각해 보면 직관적으로 존재해야 할 것 같은 measure에도 그 값이 존재하지 않을 수 있죠. 그런데 Carathéodory's extension theorem은 이런 경우를 배제하고 measure가 잘 존재하도록 하는 방법에 대해 알려줍니다.한 번 그 과.. 2024. 7. 8. Moment Generating Function(m.g.f,적률생성함수)의 미분가능성? 1(feat. Uniform Convergence) 서론이 글은 Moment Generating Function 즉, m.g.f 를 완벽히 이해하기 위한 두 번째 글입니다. 이 글에서는 m.g.f의 미분가능성에 대해 다룹니다. 우리는 m.g.f를 크게 고민하지 않고 미분하기를 반복하곤 합니다. 그러나 이전 글에서 알아보았듯 m.g.f는 power series이고 우리는 Calculus에서 이것의 미분이 가능성은 배웠는데 왜 그러한지는 정확히 모릅니다.그래서 오늘 이번 시리즈에서는 power series가 왜 미분가능한지 다루어보고자 합니다.이 글은 시리즈의 첫번째 글입니다. 본 포스팅은 Principles of Mathematical Analysis.3rd(Rudin)을 참고하고 있으며 서적에서 다루는 증명을 해설합니다. 본론m.g.f는 power ser.. 2024. 6. 21. 이전 1 다음
