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서론Central Limit Theorem의 전반적인 정리들입니다. 증명이 크게 어렵진 않은데 시간은 크게 없으니 일단 생략하고 정리 내용 위주로 이해해봅시다. 본론Theorem 1 Central Limit TheoremAssume that $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^+}$ are i.i.d. with $E[X_1] = \mu$ and $Var(X_1) = \sigma^2 \in (0,\infty)$.Then, $\frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt(n)} \xrightarrow{d} N(0,1)$.우리가 잘 아는 Central Limit Theorem이 나왔습니다. 통계에서는 Central Limit Theorem 없이는 말할 수 있는 주제가 크게 없습니다.이 식의 ..

서론확률론 기말고사 범위 중 Characteristic Function의 부분을 다루려고 합니다. 기말이 얼마 안 남았는데 큰일 났습니다.바로 시작하죠. 본론Characteristic Function(특성함수)는 m.g.f와 다르게 모든 $t$에 대해 성립한다는 장점이 있습니다. 1. Definition of Characteristic FunctionLet $\mu$ be a (sub)borel measure.Then, the ch.f $\varphi$ is defined by $\varphi (t) = \int e^{itx} du(x) \space \space t \in \mathbb{R}$ - $\varphi_\mu = \varphi_\nu$ if and only if $\mu = \nu$- $\in..

서론확률론 과제를 해야 합니다.큰일 났습니다. 증명이고 뭐고 다 건너뛰고 정리만 보겠습니다. 대신 각 정리와 lemma마다 직관적인 설명을 곁들이겠습니다. SLLN은 특별히 증명하겠습니다. 시작합시다.(본 포스팅은 9개의 Theorem들과 5개의 Lemma 하나의 definition을 소개함으로 WLLN과 SLLN을 소개합니다.)본론Theorem1 - Kolmogorov's inequality theoremLet $\{X_n\}$ be a seq of indep r.v.s. with $EX_n = 0, var(X_n) = \sigma_n^2 Then, $\displaystyle P(\max_{1 \leq j \leq n} |S_j| \geq \epsilon) \leq \sum_{j=1}^n \frac{..

서론지난 포스팅에서는 확률변수란 무엇인지 배웠습니다.확률변수는 Real-Valued Measurable function이라고 할 수 있었죠! 이번 시간에는 이 확률변수들의 연산한 것도 확률변수가 됨을 보이겠습니다. 원래 연속함수를 확률변수에 씌워도 확률변수입니다만 그에 대한 것은 추후 포스팅하겠습니다. 오늘 확인할 내용은 총 4가지이고 아래와 같습니다. 체크해 보겠습니다.$c$ : constants1) $c+X$2) $cX$3) $X+Y$4) $XY$ 마지막 추가로 $\sup X_n, \inf X_n, \limsup X_n, \liminf X_n$도 알아보죠!본론If $X$ is a r.v., then $c+X$ is also a r.v. 상수배를 한 것도 확률변수라는데요. 직관적으로 당연합니다. 예를 ..

서론이번 시간에는 간단히 Random Variable에 대해 알아보겠습니다.우리는 평소에 정확한 정의 없이 이를 사용하곤 하는데요, 이번엔 이를 확실하게 정의하고 넘어가 보겠습니다. 간단하게 요약해 보면, 확률은 사실 사건을 측정한 것입니다. 여기서 확률변수란 그 측정에 대한 함수, 즉, measurable function을 의미합니다.(읽어도 모르겠다구요? 그럼 그냥 외워.라고 할 뻔.) 간단히 예시만 들고 넘어가 봅시다. 실수축 위에서 0부터 3까지의 길이를 측정해 봅시다. 혹은, 함수 높이는 1, 밑변은 3짜리 직사각형의 넓이를 측정한다고 해봅시다. 그럼 $\int_{[0,3]} 1 dx$을 구한다고 생각해 볼 수 있겠죠?그러면 위의 step function을 $\mathcal{f}$라고 해봅시다...

서론확률론 4번째 주제는 Borel Cantelli lemma의 첫번째 버전입니다. 정말 확률론에서 많이 쓰는 정리이기 때문에 확실히 알고 있을 필요가 있습니다. 오늘은 다음과 같은 순서로 내용을 알아봅시다.1. 집합의 limsup, liminf2. infinitely often(i.o.)3. Borel Catelli lemma 집합의 limsup부터 시작해봅시다. 본론1. Def limsup and liminfLet $A_i \in \mathcal{F} \space i \geq 1$.Then,$\displaystyle \limsup_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$$\displaystyle \l..

서론중간고사를 봐야해요...중요한 정리들을 정리하겠습니다.갖다놓고 외워봅시다.본론1. Definition of $\pi$, $\lambda$ system1) $\pi$ systemA collection $P$ is a $\pi$-system if for $A,B \in P$, $A \cap B \in P$ 2) $\lambda$ systemA collection $L$ is a $\lambda$-system if- $\emptyset \in L$- If $A^c \in L$, $A \in L$- If$A_1,A_2,... \in L$ and $A_1,A_2,...$are disjoint, then $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in L$ 2. $\pi$, $\lambda$ syste..

서론과제 1번이 Durret 확률론 책의 1.3.1번이었는데요. 문제를 풀다보니 제가 잘못된 풀이를 했었습니다.본 포스팅에서는 그 풀이 과정에서 얻어낸 지식을 나누고자 합니다. 다음 Stack exchange의 도움을 많이 받았습니다.https://math.stackexchange.com/questions/4374444/the-preimage-of-the-intersection-of-sigma-algebras본론$\mathcal{A}$를 $\sigma$-field라고 합시다.이 때 measurable function $X$ 혹은 random variable $X$에 대해, $X^{-1}(\mathcal{A}) = \{(X \in A) : A \in \mathcal{A}\}$로 정의해봅시다. 그러면 ran..

서론푹 찍 확률론 세번째 글입니다. 이번엔 Dynkin's $\pi - \lambda$theorem인데 이전에 아래의 찍먹 측도론 포스팅에서 다룬 적이 있습니다.https://juhongyee.tistory.com/30 찍먹 측도론 3 Dynkin $\pi - \lambda$ theorem(Dynkin Pi-lambda theorem)서론지난 시간에는 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보았습니다. 그런데 이 정리에서 $\sigma$-finite라는 조건을 추가했을 때는 그 measure가 unique 하게 존재합니다.이는 Probability measure에서 일반juhongyee.tistory.com매우 중요한 정리이기 때문에 확률론에서 다른 notation들로 또 ..

서론서울대학교 통계학과 대학원 확률론 1 강의를 참고하는 두 번째 포스팅입니다. 이번 포스팅에서는 Open Interval의 set의 $\sigma$-field가 Borel Set 혹은 Borel $\sigma$-field가 됨을 보이겠습니다.Topology나 이런 개념을 알면 좋은데, 일단 제가 모릅니다. 나중에 공부해서 올려볼게용. 시작합시다. 본론지난 포스팅에서 $\sigma$-field가 무엇인지 올렸습니다. https://juhongyee.tistory.com/41 푹 찍어먹는 확률론 1 Probability Space and Measure서론본 포스팅은 서울대학교 대학원 통계학과 확률론1 과목 내용을 포함합니다.교재로는 Durrett, R. (2019). Probability: Theory a..