Juhongyee

서론Central Limit Theorem의 전반적인 정리들입니다. 증명이 크게 어렵진 않은데 시간은 크게 없으니 일단 생략하고 정리 내용 위주로 이해해봅시다. 본론Theorem 1 Central Limit TheoremAssume that $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^+}$ are i.i.d. with $E[X_1] = \mu$ and $Var(X_1) = \sigma^2 \in (0,\infty)$.Then, $\frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt(n)} \xrightarrow{d} N(0,1)$.우리가 잘 아는 Central Limit Theorem이 나왔습니다. 통계에서는 Central Limit Theorem 없이는 말할 수 있는 주제가 크게 없습니다.이 식의 ..

서론확률론 기말고사 범위 중 Characteristic Function의 부분을 다루려고 합니다. 기말이 얼마 안 남았는데 큰일 났습니다.바로 시작하죠. 본론Characteristic Function(특성함수)는 m.g.f와 다르게 모든 $t$에 대해 성립한다는 장점이 있습니다. 1. Definition of Characteristic FunctionLet $\mu$ be a (sub)borel measure.Then, the ch.f $\varphi$ is defined by $\varphi (t) = \int e^{itx} du(x) \space \space t \in \mathbb{R}$ - $\varphi_\mu = \varphi_\nu$ if and only if $\mu = \nu$- $\in..

서론확률론 과제를 해야 합니다.큰일 났습니다. 증명이고 뭐고 다 건너뛰고 정리만 보겠습니다. 대신 각 정리와 lemma마다 직관적인 설명을 곁들이겠습니다. SLLN은 특별히 증명하겠습니다. 시작합시다.(본 포스팅은 9개의 Theorem들과 5개의 Lemma 하나의 definition을 소개함으로 WLLN과 SLLN을 소개합니다.)본론Theorem1 - Kolmogorov's inequality theoremLet $\{X_n\}$ be a seq of indep r.v.s. with $EX_n = 0, var(X_n) = \sigma_n^2 Then, $\displaystyle P(\max_{1 \leq j \leq n} |S_j| \geq \epsilon) \leq \sum_{j=1}^n \frac{..

서론중간고사가 망해서 공부를 열심히 해야겠다 싶어요 ㅋㅋ 본 포스팅은 서울대학교 25학년도 1학기 대학원 응용통계 수업 내용의 일부를 정리하고,Rencher, Alvin C., and G. Bruce Schaalje. 2008. *Linear Models in Statistics*. 2nd ed를 참고합니다.본론7.1 ResudualsThe residuals can be written as $\hat{\epsilon} = y - X\hat{\beta} = (I-H)y = (I-H)(X\hat{\beta} + \epsilon) = (I-H)\epsilon$ residual이란 무엇이냐. 원래 우리가 가진 $y$값에 예측한 $\hat{y}$를 뺀 값입니다. 즉, 우리의 예측이 틀린 부분입니다.위의 식에서 봤..

서론지난 포스팅에서는 확률변수란 무엇인지 배웠습니다.확률변수는 Real-Valued Measurable function이라고 할 수 있었죠! 이번 시간에는 이 확률변수들의 연산한 것도 확률변수가 됨을 보이겠습니다. 원래 연속함수를 확률변수에 씌워도 확률변수입니다만 그에 대한 것은 추후 포스팅하겠습니다. 오늘 확인할 내용은 총 4가지이고 아래와 같습니다. 체크해 보겠습니다.$c$ : constants1) $c+X$2) $cX$3) $X+Y$4) $XY$ 마지막 추가로 $\sup X_n, \inf X_n, \limsup X_n, \liminf X_n$도 알아보죠!본론If $X$ is a r.v., then $c+X$ is also a r.v. 상수배를 한 것도 확률변수라는데요. 직관적으로 당연합니다. 예를 ..

서론이번 시간에는 간단히 Random Variable에 대해 알아보겠습니다.우리는 평소에 정확한 정의 없이 이를 사용하곤 하는데요, 이번엔 이를 확실하게 정의하고 넘어가 보겠습니다. 간단하게 요약해 보면, 확률은 사실 사건을 측정한 것입니다. 여기서 확률변수란 그 측정에 대한 함수, 즉, measurable function을 의미합니다.(읽어도 모르겠다구요? 그럼 그냥 외워.라고 할 뻔.) 간단히 예시만 들고 넘어가 봅시다. 실수축 위에서 0부터 3까지의 길이를 측정해 봅시다. 혹은, 함수 높이는 1, 밑변은 3짜리 직사각형의 넓이를 측정한다고 해봅시다. 그럼 $\int_{[0,3]} 1 dx$을 구한다고 생각해 볼 수 있겠죠?그러면 위의 step function을 $\mathcal{f}$라고 해봅시다...

서론확률론 4번째 주제는 Borel Cantelli lemma의 첫번째 버전입니다. 정말 확률론에서 많이 쓰는 정리이기 때문에 확실히 알고 있을 필요가 있습니다. 오늘은 다음과 같은 순서로 내용을 알아봅시다.1. 집합의 limsup, liminf2. infinitely often(i.o.)3. Borel Catelli lemma 집합의 limsup부터 시작해봅시다. 본론1. Def limsup and liminfLet $A_i \in \mathcal{F} \space i \geq 1$.Then,$\displaystyle \limsup_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$$\displaystyle \l..

서론중간고사를 봐야해요...중요한 정리들을 정리하겠습니다.갖다놓고 외워봅시다.본론1. Definition of $\pi$, $\lambda$ system1) $\pi$ systemA collection $P$ is a $\pi$-system if for $A,B \in P$, $A \cap B \in P$ 2) $\lambda$ systemA collection $L$ is a $\lambda$-system if- $\emptyset \in L$- If $A^c \in L$, $A \in L$- If$A_1,A_2,... \in L$ and $A_1,A_2,...$are disjoint, then $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in L$ 2. $\pi$, $\lambda$ syste..

어제 풀었던 문제와 이어지는 문제다.모든 Cauchy sequence가 수렴함을 보이는 문제였다.가장 많이 사용하는 key는 $\frac{x}{1+x}$가 증가함수라는 것이었다. $E[\frac{|X-Y|}{1+|X-Y|}]$가 본 문제의 식이었기 때문에 $\phi = \frac{x}{1+x}$로 놓고 문제를 접근했다. 이 문제의 핵심은 $X_{\infty}$를 구성하는 것이다. 어떻게?각 $\omega$마다 $X_n(\omega)$는 real sequence이다. 그러면 $X_{\infty} = \lim X_n(\omega)$로 잡아주면 좋겠다. 그러면 각 $\omega$마다 수렴함을 보여야 하는데. 나의 실수$d(X_m,X_n)$에 $\omega$를 넣고 그 값이 0으로 수렴한다고 생각했다. 그런데 ..

오늘 푼 문제는 위의 문제다. metric을 주어서 확률변수 간의 거리를 따질 수 있게 됐다.그냥 unclidian distance 줘도 될 것 같은데 이게 왜 필요할까?(a)(1)을 귀류법에 simple function을 적용해서 풀었다.다른 풀이로는 적분을 쪼개서 계산함으로 되는 것 같다. 포인트는 양수를 적분을 때 0이 나왔으면 0이라는 것. (2)은 쉽고(3)은 Case를 나눠서 풀었다. 나머지는 trivial하고 Case 3번 d(X,Z)>=d(X,Y),d(Y,Z)가 문제. Case로부터 유도한 부등식에서 그 식이 1보다 작음을 보이고, 삼각부등식으로 나눠서 풀었다. (b) 는 d(X_n,X)->0이면 적분을 쪼개고 $\frac{x}{1+x}$가 incresing임을 이용해서 부등식 전개하면 바..