분류 전체보기41 2025 4/18 오늘의 문제와 감상 (Durret 2.3.7, 2.3.11) 어제 풀었던 문제와 이어지는 문제다.모든 Cauchy sequence가 수렴함을 보이는 문제였다.가장 많이 사용하는 key는 $\frac{x}{1+x}$가 증가함수라는 것이었다. $E[\frac{|X-Y|}{1+|X-Y|}]$가 본 문제의 식이었기 때문에 $\phi = \frac{x}{1+x}$로 놓고 문제를 접근했다. 이 문제의 핵심은 $X_{\infty}$를 구성하는 것이다. 어떻게?각 $\omega$마다 $X_n(\omega)$는 real sequence이다. 그러면 $X_{\infty} = \lim X_n(\omega)$로 잡아주면 좋겠다. 그러면 각 $\omega$마다 수렴함을 보여야 하는데. 나의 실수$d(X_m,X_n)$에 $\omega$를 넣고 그 값이 0으로 수렴한다고 생각했다. 그런데 .. 2025. 4. 19. 2025/04/17 오늘 푼 문제와 감상(Durret 2.3.6) 오늘 푼 문제는 위의 문제다. metric을 주어서 확률변수 간의 거리를 따질 수 있게 됐다.그냥 unclidian distance 줘도 될 것 같은데 이게 왜 필요할까?(a)(1)을 귀류법에 simple function을 적용해서 풀었다.다른 풀이로는 적분을 쪼개서 계산함으로 되는 것 같다. 포인트는 양수를 적분을 때 0이 나왔으면 0이라는 것. (2)은 쉽고(3)은 Case를 나눠서 풀었다. 나머지는 trivial하고 Case 3번 d(X,Z)>=d(X,Y),d(Y,Z)가 문제. Case로부터 유도한 부등식에서 그 식이 1보다 작음을 보이고, 삼각부등식으로 나눠서 풀었다. (b) 는 d(X_n,X)->0이면 적분을 쪼개고 $\frac{x}{1+x}$가 incresing임을 이용해서 부등식 전개하면 바.. 2025. 4. 18. 4 Quantile function의 Convegence(분위수 함수의 수렴) 서론응용통계 과제를 하다 보니 Quantile이 수렴하는 내용을 보일 필요가 있었습니다.그냥 직관적으로 당연한거 아니야? 하니 옆의 친구가 당연하긴 해도 증명해야지 하더라구요. 그래서 Differentiable, 1-1 function인 F, i.e., CDF에 대해서는 증명을 간단하게 해 보았습니다.워낙 간단해서 이 부분 증명은 스킵하고 일반적인 Distribution에 대해서 증명해 보겠습니다.본론정의Let $X_n$ is a squence of r.vs and $X$ is a r.v.Let $F_n = cdf_{X_n}(x), F = cdf_X(x)$ For a given $p \in (0,1)$ the $p$ quantiles of limit distribution is defined as $Q_.. 2025. 4. 9. 소소하게 얻어낸 지식 - preimage of 𝜎-algebra's Intersection 서론과제 1번이 Durret 확률론 책의 1.3.1번이었는데요. 문제를 풀다보니 제가 잘못된 풀이를 했었습니다.본 포스팅에서는 그 풀이 과정에서 얻어낸 지식을 나누고자 합니다. 다음 Stack exchange의 도움을 많이 받았습니다.https://math.stackexchange.com/questions/4374444/the-preimage-of-the-intersection-of-sigma-algebras본론$\mathcal{A}$를 $\sigma$-field라고 합시다.이 때 measurable function $X$ 혹은 random variable $X$에 대해, $X^{-1}(\mathcal{A}) = \{(X \in A) : A \in \mathcal{A}\}$로 정의해봅시다. 그러면 ran.. 2025. 3. 26. 이전 1 2 3 4 5 ··· 11 다음
