소소하게 얻어낸 지식 - preimage of 𝜎-algebra's Intersection

서론

과제 1번이 Durret 확률론 책의 1.3.1번이었는데요. 문제를 풀다보니 제가 잘못된 풀이를 했었습니다.

본 포스팅에서는 그 풀이 과정에서 얻어낸 지식을 나누고자 합니다.

 

다음 Stack exchange의 도움을 많이 받았습니다.

https://math.stackexchange.com/questions/4374444/the-preimage-of-the-intersection-of-sigma-algebras

본론

$\mathcal{A}$를 $\sigma$-field라고 합시다.

이 때 measurable function $X$ 혹은 random variable $X$에 대해, $X^{-1}(\mathcal{A}) = \{(X \in A) : A \in \mathcal{A}\}$로 정의해봅시다.

 

그러면 random variable에 $\sigma$-field를 넣은 것을 그 $\sigma$-field의 element들의 preimage들의 collection으로 생각하자는 이야기겠네요.

말이 길죠. preimage들을 모아놓은 것입니다.

Claim

$\mathcal{I}$를 index set이라고 합시다. 그러면 $\mathcal{A}_i$는 $\sigma$-field입니다.

이 때 제 Claim은 $\displaystyle f^{-1}\left( \bigcap_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{A}_i \right) \not\supset \bigcap_{i \in \mathcal{I}} f^{-1}(\mathcal{A}_i)$

미리 결과를 말하자면, Counter example을 통해 위의 proposition을 보이겠습니다.

 

아마 이것도 안될 겁니다. Counter example을 찾아야하는데 시간이 없어서 독자들에게 맡길게요.

$\displaystyle f^{-1}\left( \bigcap_{i \in \mathcal{I}} A_i \right) \not\subset \bigcap_{i \in \mathcal{I}} f^{-1}(A_i)$

 

연습

일단 $\sigma$-field의 example을 잡는 연습을 해봅시다.

 

$\sigma_1 = \{\emptyset , A, A^c, \Omega\}$라고 해봅시다.

그러면 이는 trivially $\sigma$-field입니다.

$\sigma_2 = \{\emptyset , B, B^c, \Omega\}$도 마찬가지입니다.

 

더불어 $\sigma_1 \cap \sigma_2 = \{\emptyset, \Omega \}$도 $\sigma$-field입니다. Intersection이기 때문이죠.

 

이제 measurable function을 잡는 연습을 해보겠습니다.

measurable function을 잡을 땐 몇 가지 규칙이 있는데 만약 $f^{-1}(A) = C$이면 $f^{-1}(A^c) = C^c$입니다.

preimage의 property입니다.

(image에서는 안그럴 수도 있습니다.)

 

Counter example

 

자 그러면 위의 $\sigma_1, \sigma_2$에 대해 $A = (0,1)$, $B = (0,2)$로 둡시다.

그리고 $f : \mathbb{R} \rightarrow \Omega$  s.t  $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset, f^{-1}(A)=f^{-1}(B)=(-1,1),f^{-1}(A^c)=f^{-1}(B^c)=\mathbb{R}/(-1,1), f^{-1}(\Omega) = \mathbb{R}$을 생각합시다.

 

$f$가 위의 조건들을 만족해야한다는 뜻입니다.

하나를 제시하자면,

$$
f(x) =
\begin{cases}
1 - x^2, & \text{if } -1 < x < 1 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

이 있겠습니다.

 

이 함수 상에서 $f^{-1}(\sigma_1 \cap \sigma_2) = \{\emptyset, \mathbb{R}\}$이지만 $f^{-1}(\sigma_1)\cap f^{-1}(\sigma_2)$는 $\{\emptyset, (-1,1), \mathbb{R}/(-1,1), \mathbb{R}\}$이 됩니다.

 

Visualization of couter example

 

즉, 두 식이 다르게 됩니다. 곧, Claim의 counter example이 됩니다.

 

Analysis

Set의 preimage와는 다른 양상을 보임을 확인했습니다. Collection도 일종의 set이기 때문에 될 줄 알았는데 안되더라구요.

Set의 preimage 증명과 비교했을 때 이러한 문제가 생기는 이유는 $f^{-1}$의 정의와 $f^{-1}$가 Injective가 아니기 때문에 발생합니다.

 

만약 Set에서의 preimage의 증명을 따라간다고 해봅시다.

먼저 $\displaystyle B \in \bigcap_{i \in \mathcal{I}} f^{-1}(\mathcal{A}_i)$라고 합시다.

그러면 $\forall i \in \mathcal{I} B \in f^{-1}(\mathcal{g_i})$ by definition of intersection.

이게 무슨 뜻이냐면 $\exists B' \in \mathcal{A}_i \space \space f^{-1}(B') = B$라는 뜻입니다.

어떤 preimage가 $B$라는 뜻입니다. 그런데 $f^{-1}$ Injective하지 않다면 위의 Counter example 같은 상황이 발생합니다. 여러 set들이 하나의 preimage를 공유합니다.

 

즉, 항상 $f(B) = B_i'$인건 아닙니다. 그러므로 원래 하던 증명대로 이어나갈 수가 없습니다.

 

The remaining two problems

1.  그 반대 방향은 성립하는가? (추측컨대 안성립할 것 같아요)

2. injective이면 성립하는가?

 

위의 두 문제를 더 고민해볼 필요가 있습니다.

독자님들이 생각이 있으시다면 답을 공유해주세요.

 

결론

과제하던도중 풀이가 이상한 것 같아 동기와 같이 이야기를 나누었고 결론을 얻었습니다.

$\sigma$-field의 Intersection에 대해 preimage들의 property가 잘 성립할 것인가에 대한 질문이었습니다.

결론은 아래와 같습니다.

 

$\displaystyle f^{-1}\left( \bigcap_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{A}_i \right) \not\supset \bigcap_{i \in \mathcal{I}} f^{-1}(\mathcal{A}_i)$

 

이는 $f^{-1}$가 injective가 아닌 경우의 Counter example로 보였습니다.

 

재밌는 문제였습니다.

 

다음에 봐용