서론
본 포스팅은 서울대학교 대학원 통계학과 확률론1 과목 내용을 포함합니다.
교재로는 Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples (5th ed.). Cambridge University Press 을 참고합니다.
지금까지 와의 포스팅과 다르게 정리들을 간단하게 정리하고 설명하는 형식으로 포스팅될 예정입니다.
시작하겠습니다.
본론
Measure Theory가 아닌 Probability Theory이기 때문에 Measure에 관해 심도 있게 다루지는 않습니다.
1. Def of probability space
A probability space is a triple $(\Omega, \mathcal{F}, P)$
where $\Omega$ is a set of "outcomes", $\mathcal{F}$ is a set of "events" and $P$ : $\mathcal{F} \rightarrow [0,1]$
여기서 $\mathcal{F}$는 $\sigma$-field를 의미합니다. $P$는 measure인데 events에 probability를 부여합니다.
events는 $\sigma$-field의 원소이고, 전체 outcome 중 우리가 보는, 수치화할 수 있는 대상입니다.
2. Def of $\sigma$-field
$\mathcal{F}$ is a $\sigma$-field, i.e. , a (nonempty) collection of subsets of $\Omega$ that satisfy
(1) If $A$ $\in$ $\mathcal{F}$ then $A^c$ $\in$ $\mathcal{F}$
(2) if $A_i \in \mathcal{F}$ is a countable sequence of sets then $\bigcup_i A_i \in \mathcal{F}$
$\sigma$ - field는 complement(여집합)에 닫혀있고 countable union에 닫혀있습니다.
union과 complement에 닫혀있다면 intersection(교집합)에도 닫혀있습니다 By DeMorgan.
그러면 더불어 차집합에도 닫혀있습니다.
countable union이라는 조건은 finite union 조건보다 강한 조건입니다.
$\sigma$ - field의 element를 measurable set이라고 하겠습니다. measure의 정의역이기 때문입니다.
$(\Omega,\mathcal{F})$ is called a measurable space
만약 measure $P$를 정의하지 않았다면 이는 measurable space라고 합니다. measure를 올릴 준비가 된 공간입니다.
3. Def of Measure
A measure is a nonnegative countably additive set function;
that is, a function $\mu$ : $\mathcal{F} \rightarrow \mathbf{R}$ with
(1) $\mu (A) \geq \mu (\emptyset) = 0 \space \forall A \in \mathcal{F}$
(2) if $A_i \in \mathcal{F}$ is a countable sequence of disjoint sets, then $\mu (\bigcup_i A_i) = \sum_i \mu(A_i)$
measure는 항상 0보다 크거나 같은, nonnegative인 함수입니다.
더불어 어떤 set을 겹치지 않게 덮을 수 있다면 각 조각들의 measure의 합이 그 set의 measure가 됩니다.
$\sigma$-field의 정의도 이 때문인데, 셀 수 있는 조각들로 합집합 해서 만든 그 집합이 다시 $\sigma$-field에 속함으로써 그 새로 만든 집합의 measure가 존재함이 보장됩니다.
왜 uncountable이면 안될까요? 아마 uncountable이 된다면 점으로 선을 덮을 수 있기 때문일 겁니다. 점은 measure가 0인데도 불구하고 0을 더해서 1을 만든다면 이상하니까요.
4. Measure Properties
(1) monotonicity : If $A \subset B$ then $\mu(A) \leq \mu(B)$
(2) subadditivity : If $A \subset \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m$ then $\mu(A) \leq \sum_{m=1}^{\infty} \mu(A_m)$
(3) continuity from below. If $A_i \uparrow A$(i.e. $A_1 \subset A_2 \subset ...$ and $\bigcup_i A_i = A$ then $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \mu(A_i) = \mu(A)$
(4) continuity from below. If $A_i \downarrow A$(i.e. $A_1 \supset A_2 \supset ...$ and $\bigcap_i A_i = A$, with $\mu(A_1) < \infty$ then $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \mu(A_i) = \mu(A)$
(3),(4)은 https://juhongyee.tistory.com/32 포스팅에서 증명하겠다고 했던 정리입니다.
증명이 어렵지 않으니 간단히 해봅시다.
Proof
우리는 measure가 잘 정의되어 있다고 가정합니다.
(1) 그러면 $A$는 $B$의 subset 이므로 $B = A +(B-A)$입니다. 위에서 언급했듯 $B-A$도 measurable입니다.
$A$와 $B-A$는 disjoint 하므로 $\mu(B) = \mu(A) + \mu(B-A)$입니다. 즉 $\mu(B) > \mu(A)$입니다.
더불어 $\mu(B-A) = \mu(B) - \mu(A)$임도 알 수 있겠습니다.(If $\mu(A) < \infty$)
(2) Subaddivity는 disjoint하든 안 하든 덮기만 하면 measure가 더 크다는 뜻입니다. 어떤 sequence를 생각합시다. $A_1,A_2,...$.
여기서 제가 중요한 부분이 있습니다.
countable하게 덮기만 하면 Disjoint하게 만들 수 있다.
부분집합의 형태로 그러니까, continuous하게 덮으면(like (3),(4)) 더 쉽게 Disjoint하게 만들 수 있고 그냥 막 덮여도 disjoint하게 만들 수 있습니다.
이 증명에서는 막 덮여있는 케이스를 보겠습니다.
Sequence들과 $A$의 교집합을 고려합시다. $A_i' = A \cap A_i$ 그러면 De Morgan에 의해 $A_i'$의 union도 A를 덮는 걸 알 수 있습니다.
그리고 $B_n = A_n'-\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i'$을 고려합시다. 이전 것까지 겹치는 것들을 모두 빼준 겁니다. 그러면 n번째는 1~n-1번째와 겹치는 부분이 없고 $B_{n+1}$부터는 $B_n$을 모두 빼줄 거니까, $B_1, B_2, ..., B_n,...$들은 모두 disjoint 합니다.
Disjoint하기 때문에 measure의 성질을 이용할 수 있습니다.
$\mu(A) = \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(B_i)$입니다. 여기서 $\mu(B_i) \leq \mu(A_i)$이므로 (1)에 의하여 $\mu(A) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(B_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)$
$\therefore \mu(A) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)$
(3) 은 더 쉽습니다. 모두 합집합하면 A가 되는 형태로 덮고 있기 때문에 $A_i - A_{i-1}$을 고려합시다. $A_{i-1}$을 뺀다는 건 $1,...i-1$을 모두 부분집합으로 가지고 있기 때문에 1부터 $i-1$을 모두 빼는 것과 같습니다. 근본적으로 (3)과 같죠.
아래와 같은 느낌입니다 색이 다른 테두리가 $A_i'$가 됩니다.
(GPT한테 조화로운 색 조합 좀 추천해 달라고 했는데 이거 알려줬습니다.)
(4) 조건 중 $A_1$이 finite하다는 조건이 있는데 생각보다 중요한 조건입니다. $A_n = [n,\infty]$를 봅시다. 모두 부분 $A_{n-1}$은 $A_n$의 부분집합이고 Lesbegue Measure가 $\infty$입니다. 그런데 $\bigcap_n A_n = \emptyset$으로 measure가 0이죠.
그러므로 우리는 $A_1$이 finite하다는 조건을 주는 겁니다.
그렇다면 $A_1-A_n$을 고려합시다.(테크닉입니다.) $A_{n+1}$이 더 작은 집합이므로 $A_1-A_n \subset A_1-A_{n+1}$입니다. 그러면 (3)에 의해 $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_1-A_n) = \mu(A_1-A)$입니다.
$A_1 \supset A$이므로 (1)에서 증명한 것처럼 $\mu(A_1-A) = \mu(A_1) - \mu(A)$입니다.
(만약 finite 조건이 없으면 마지막에서 어그러집니다.)
양변에 $\mu(A_1)$을 빼고 -를 곱해주면
$\therefore \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n) = \mu(A)$
결론
Probability Space를 정의하고 Measure의 properties들을 증명해 보았습니다.
다음 시간에는 실수집합에서의 $\sigma$-algebra인 Borel Set에 대해 알아보겠습니다.
일반적인 Topology에서는 아니고 real line에서 생각해 보죠.
그럼 다음 포스팅에서 만나요
'확률론' 카테고리의 다른 글
| 푹 찍어먹는 확률론 2 Borel Set (0) | 2025.03.10 |
|---|---|
| 1. 조건부 확률 (1) | 2023.05.31 |
