공부 일기2 2025 4/18 오늘의 문제와 감상 (Durret 2.3.7, 2.3.11) 어제 풀었던 문제와 이어지는 문제다.모든 Cauchy sequence가 수렴함을 보이는 문제였다.가장 많이 사용하는 key는 $\frac{x}{1+x}$가 증가함수라는 것이었다. $E[\frac{|X-Y|}{1+|X-Y|}]$가 본 문제의 식이었기 때문에 $\phi = \frac{x}{1+x}$로 놓고 문제를 접근했다. 이 문제의 핵심은 $X_{\infty}$를 구성하는 것이다. 어떻게?각 $\omega$마다 $X_n(\omega)$는 real sequence이다. 그러면 $X_{\infty} = \lim X_n(\omega)$로 잡아주면 좋겠다. 그러면 각 $\omega$마다 수렴함을 보여야 하는데. 나의 실수$d(X_m,X_n)$에 $\omega$를 넣고 그 값이 0으로 수렴한다고 생각했다. 그런데 .. 2025. 4. 19. 2025/04/17 오늘 푼 문제와 감상(Durret 2.3.6) 오늘 푼 문제는 위의 문제다. metric을 주어서 확률변수 간의 거리를 따질 수 있게 됐다.그냥 unclidian distance 줘도 될 것 같은데 이게 왜 필요할까?(a)(1)을 귀류법에 simple function을 적용해서 풀었다.다른 풀이로는 적분을 쪼개서 계산함으로 되는 것 같다. 포인트는 양수를 적분을 때 0이 나왔으면 0이라는 것. (2)은 쉽고(3)은 Case를 나눠서 풀었다. 나머지는 trivial하고 Case 3번 d(X,Z)>=d(X,Y),d(Y,Z)가 문제. Case로부터 유도한 부등식에서 그 식이 1보다 작음을 보이고, 삼각부등식으로 나눠서 풀었다. (b) 는 d(X_n,X)->0이면 적분을 쪼개고 $\frac{x}{1+x}$가 incresing임을 이용해서 부등식 전개하면 바.. 2025. 4. 18. 이전 1 다음
