2025/04/17 오늘 푼 문제와 감상(Durret 2.3.6)

오늘 푼 문제는 위의 문제다.

 

metric을 주어서 확률변수 간의 거리를 따질 수 있게 됐다.

그냥 unclidian distance 줘도 될 것 같은데 이게 왜 필요할까?

(a)

(1)을 귀류법에 simple function을 적용해서 풀었다.

다른 풀이로는 적분을 쪼개서 계산함으로 되는 것 같다. 포인트는 양수를 적분을 때 0이 나왔으면 0이라는 것.

 

(2)은 쉽고

(3)은 Case를 나눠서 풀었다. 나머지는 trivial하고 Case 3번 d(X,Z)>=d(X,Y),d(Y,Z)가 문제. Case로부터 유도한 부등식에서 그 식이 1보다 작음을 보이고, 삼각부등식으로 나눠서 풀었다.

 

(b) 는 d(X_n,X)->0이면 적분을 쪼개고 $\frac{x}{1+x}$가 incresing임을 이용해서 부등식 전개하면 바로 나온다.

A = {$\omega$ : |$x_n-x$|$> \epsilon$}로 설정하고 적분 범위를 나눴다.

그러면 $A^c$파트를 $\frac{x}{1+x}$가 incresing임을 이용해서 0으로 보내버릴 수 있고, 나머지도 결국 metric이 1보다 작다는걸 활용해서 부등식 전개했다.

 

이게 내 일기 같은 개념이 될 것 같다.

metric은 거리인데, 확률 변수간 거리가 무엇인지 옛날에는 몰랐지만 지금은 그냥 함수간 거리라는 걸 안다.

어려울줄 알았는데 의외로 쉽게 풀었다.

(a)의 (1)은 원래는 simple부터 bounded, general로 넘어가는 증명 방식을 적용해볼까 했었다.

그런데 당연한걸 부정했으니 다 반례가 될테고 simple에서만도 그 반례가 나왔다.

 

출처 : Durrett, R. (2019). Probability: Theory and examples (5th ed.). Cambridge University Press.

 

끗.