푹 찍어먹는 확률론 2 Borel Set

서론

서울대학교 통계학과 대학원 확률론 1 강의를 참고하는 두 번째 포스팅입니다.

 

이번 포스팅에서는 Open Interval의 set의 $\sigma$-field가 Borel Set 혹은 Borel $\sigma$-field가 됨을 보이겠습니다.

Topology나 이런 개념을 알면 좋은데, 일단 제가 모릅니다. 나중에 공부해서 올려볼게용.

 

시작합시다.

 

본론

지난 포스팅에서 $\sigma$-field가 무엇인지 올렸습니다. 

https://juhongyee.tistory.com/41

푹 찍어먹는 확률론 1 Probability Space and Measure

사실 벌써 이 블로그에 $\sigma$-field 관련 내용만 3개가 올라왔습니다. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 그만큼 중요하다는 의미로 받아들여주세요.

 

1. Smallest $\sigma$-field

어떤 집합 $\tau$를 포함하는 $\sigma$-field에는 제일 작은 것이 존재합니다.

제일 작은 것이라는 것은 $\tau$를 포함하는 모든 $\sigma$-field의 부분집합이 된다는 의미입니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

$\tau$를 포함하는 $\sigma$-field들

미적감각은 박살 났네요. 모든 $\sigma$-field가 $\tau$라는 집합을 포함하고 있습니다. 근데 모두에게 속하는 $\sigma$-field도 존재하네요. 이런 것이 정말 존재하는가 한 번 생각해 봅시다.

 

$\displaystyle\sigma(\tau)) := \bigcup_{\tau \in g} g$ ($g$ is a $\sigma$-field)
We called $\sigma(\tau)$ smallest $\sigma$-field

 

일단 g는 $P(\Omega)$로 최소 하나는 존재합니다.

그런데 모든 intersection을 했을 때 남아있는 그것이 과연 $\sigma$-field일까요?

 

정답은 Yes입니다. $\sigma$-field는 intersection을 해도 $\sigma$-field이기 때문입니다.

간단히 증명해 보죠. 제가 한 증명인데 살짝 간소화해서 적어보겠습니다. 틀릴 수도 있어요.

 

proof)

Let $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2$ be $\sigma$-field.

Consider $\mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2$.

 

1. Clearly, $\emptyset \in \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2 $

 

2. Let $A \in \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2$. Because $\tau \subset \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2$, there exist $A$.

Since $\mathcal{F}_1 ,\mathcal{F}_2$ are each $\sigma$-field. $A^c \in \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2$

In other words, $A^c \in \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2$

 

3. Similarly, $A_1,A_2,... \in \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2 \rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2 \because \mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2$ are $\sigma$-field.

$\therefore \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2$

 

$\therefore \mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2$ is a $\sigma$-field.

 

위의 증명은 finite intersection에 관한 증명입니다. $\sigma$-field의 조건을 모두 만족하기 때문에 intersection도 $\sigma$-field라고 할 수 있습니다.

 

그런데 위의 intersection 부분을 uncountably intersection으로 바꾸어도 증명이 성립합니다. 즉, possibly uncountable intersection이 $\sigma$-field라는 것입니다.

 

흠, 그러므로 $\sigma(\tau)$는 항상 존재한다고 할 수 있겠습니다.

 

2. Def of Borel sets

open set들의 collection을 우리는 topology라고 합니다.

$\mathbb{R}$에서의 topology를 $\tau$라고 합시다. 그러면 $\tau$에는 다양한 open set들이 있겠네요. 예를 들어 open interval들입니다.

 

$\mathbb{R}$에서의 Borel set을 $B(\mathbb{R})$이라고 쓰고, 이는 $\mathbb{R}$에 대해 $\sigma(\tau)$를 의미합니다. 즉, topology를 포함하는 $\sigma$-field입니다.

 

3. $\mathbb{R}$에서의 Borel set은 open interval들로 표현 가능하다.

$I = \{(a,b) : a,b \in \mathbb{Q}\}$ 라고 합시다.

그러면,

Claim : $B(\mathbb{R}) = \sigma(\tau) = \sigma(I)$

Borel set은 open inverval들로 generating한 $\sigma$-field와 같다는 것입니다.

 

우리는 이를 $\sigma(\tau)$와 $\sigma(I)$가 서로의 부분집합이 됨으로 보일 겁니다.

 

Lemma

If $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2$, then $\sigma(\mathcal{F}_1) \subset 
\sigma(\mathcal{F}_2)$

 

proof of lemma)

 

Suppose $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2$ and $A \in \sigma(\mathcal{F}_1)$.

Then, $A \in \mathcal{F}_1 \space \because A \in \sigma(\mathcal{F}_1)$

Then, $A \in \mathcal{F}_2 \space \because \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2$

Then, $A \in \sigma(\mathcal{F}_2) \space \because A \in \mathcal{F}_2$

$\therefore \sigma(\mathcal{F}_1) \subset \sigma(\mathcal{F}_2) \space \because A$is arbitrary.

 

Claim : $B(\mathbb{R}) = \sigma(\tau) = \sigma(I)$

 

proof)

 

1. By lemma, Since $I \subset \tau \rightarrow \sigma(I) \subset \sigma(\tau)$

 

2. $\sigma(I) \supset \sigma(\tau)$을 보입시다.

Main idea : Density of $\mathbb{Q}$

 

Let $A \in \sigma(\tau)$.

Then for $x \in A$, we can choose a interval $(a_x,b_x)$ s.t $a_x,b_x \in \mathbb{Q}$ and $(a_x,b_x) \subset A$ Since $A$ is open.

 

More exactly, Since $A$ is open, there exist $\epsilon$ s.t $(x-\epsilon,x+\epsilon) \subset A$. If we choose $\epsilon$ satisfying that, by density of $\mathbb{Q}$, we can choose  $(a_x,b_x) \subset (x-\epsilon,x+\epsilon)$.

 

Let a class $g$ be a collection of $(a_x,b_x)$ for all $x \in A$.

Then $\bigcup_{s \in g} s = A$.

because, first ,$\bigcup_{s \in g} s \subset A$ since $s \subset A$.

second, $\bigcup_{s \in g} s \supset A$ since $\forall x \in A, x \in \bigcup_{s \in g} s$ by def of $s$.

 

정말 중요한 부분

Since $g$ is subset of $I$ and $I$ is countable, $g$ is also countable.

$g$가 $A$의 point들을 모두 가져왔기 때문에 uncountable일 수 있었는데 $I$의 subset이고 $I$가 countable이므로 $g$도 countable임.

($I \cong \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ : countable)

 

Since $g$ is a countable collection of Interval of $\mathbb{Q}$, $A = \bigcup_{s \in g} s \in \sigma(I)$

$\therefore A \in \sigma(I)$

Since A is arbitrary, $\therefore \sigma(\tau) \subset \sigma(I)$

 

By 1. and 2. , $\therefore \sigma(\tau) = \sigma(I)$

 

즉, 실수 $\mathbb{R}$의 Borel set은 유리수 구간의 open Interval들로 generating할 수 있습니다.

증명은 안 했지만, half open interval, real interval들로도 generating 가능하다고 합니다.

 

결론

실수에서의 Borel set을 정의하고 그것이 유리수 구간으로 generating 된 $\sigma$-field와 같음을 보였습니다.

 

곧 Probability measure에 대해 정의하고 이를 활용하는 내용을 다루어 봅시다.

 

감사합니다.