푹 찍어먹는 확률론 3 Dynkin's pi-lambda theorem

서론

푹 찍 확률론 세번째 글입니다. 이번엔 Dynkin's $\pi - \lambda$theorem인데 이전에 아래의 찍먹 측도론 포스팅에서 다룬 적이 있습니다.

https://juhongyee.tistory.com/30

찍먹 측도론 3 Dynkin $\pi - \lambda$ theorem(Dynkin Pi-lambda theorem)

매우 중요한 정리이기 때문에 확률론에서 다른 notation들로 또 증명해보았습니다.

$\pi - \lambda$ thoerem은 두 measure가 같은지 확인하는 경우에 사용할 수 있습니다.

마지막 Corollory에서는 두 measure가 $\pi$ - system에서만 같아도 그 $\pi$-system을 포함하는 $\sigma$-field에서 같음을 보이겠습니다.

 

이번에는 내용의 반복이므로 필기 노트를 찍어 올리는 형식으로 포스팅하겠습니다.

 

본론

수업 3_복습 pi-lambda system.pdf

0.56MB

노트필기 pdf 파일입니다

 

말로 간단히 정리해보겠습니다.

 

$\pi$-system $\mathcal{P}$ 하나를 생각해봅시다.

1. $\mathcal{P}$를 포함하는 smallest $\lambda$-system을 생각해볼 수 있고 이는 존재합니다.

2. 모든 $\sigma$-field는 $\pi$-system이면서 $\lambda$-system입니다.

3. $\lambda$ system에서 $g_A$라는 집합을 생각합시다.

    1) $\lambda$ system의 어떤 set A를 고릅니다.

    2) A와 교집합이 다시 그 $\lambda$-system에 속하는 B들만 모아놓은 집합입니다.

 

4. 그러면 Lemma에 의해 $g_A$는 $\lambda$-system입니다.

5. $\pi - \lambda$ theorem은 smallest $\lambda$-system $\mathcal{l}(\mathcal{P})$를 생각합니다. $\mathcal{P}$에서 하나의 A를 골라 $g_A$를 구성합시다. 그러면 $g_A$는 lemma에 의해 $\lambda$-system입니다. 

6. 그러면 $g_A$는 $\mathcal{P}$를 포함합니다. 왜냐하면 $\mathcal{P}$는 $\pi$-system이기 때문에 그 교집합이 자기 자신인 $\mathcal{P}$에 속하고 이는 $\mathcal{l}(\mathcal{P})$의 부분집합이기 때문입니다. 

7.그렇다면 $g_A$는 $\mathcal{P}$를 포함하는 $\lambda$-system이기 때문에 smallest $\lambda$-system인 $\mathcal{l}(\mathcal{P})$을 포함합니다. 즉, $\mathcal{l}(\mathcal{P})$안의 모든 집합들과 A와의 교집합은 다시 $\mathcal{l}(\mathcal{P})$에 들어갑니다.

 

8. 우리는 $\mathcal{l}(\mathcal{P})$가 $\pi$-system임을 보이고자 합니다. $B \in \mathcal{l}(\mathcal{P})$ 하나를 관찰합시다. 그 B는 $\mathcal{P}$의 모든 집합 A들과의 교집합이 $\mathcal{l}(\mathcal{P})$에 들어갑니다. 즉 $g_B$를 생각하면 lemma에 의해 $\lambda$-system, 교집합들이 들어가므로 $\mathcal{P}$를 포함. 즉, $g_B \supset \mathcal{l}(\mathcal{P})$입니다.

 

9. 이것은 $\mathcal{l}(\mathcal{P})$의 어떤 두 집합 $A,B$를 잡아도 그 교집합이 $\mathcal{l}(\mathcal{P})$에 들어간다는 뜻이고, Intersection에 closed되어 있다는 것이며 즉, $\mathcal{l}(\mathcal{P})$가 $\pi$-system이라는 뜻입니다.

 

10. $\mathcal{l}(\mathcal{P})$는 그러므로 $\sigma$-field입니다. 그러므로 $\mathcal{P}$를 포함하는 smallest $\sigma$-field를 포함합니다. 즉 $\mathcal{P} \subset \sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{l}(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L}$

 

11. 특히, 서로 smallest 관계 이므로 $\sigma(\mathcal{P}) = \mathcal{l}(\mathcal{P})$입니다.

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corollory

1. $\mathcal{P}$를 포함하는 $\mathcal{L} = \{A \in \sigma(\mathcal{P}) | P(A)=P(B)\}$를 잡아봅시다. 이 집합이 $\lambda$-system임을 보입시다.

2. Assumption에서 $\forall A \in \mathcal{P} P(A) = P(B)$라고 했으니 $\mathcal{P} \subset \mathcal{L}$입니다.

3. $\mathcal{L}$은 $\lambda$-system이고 $\pi - \lambda$ theorem에 의해 $\sigma(\mathcal{P})$입니다.

4. 즉, $\sigma(\mathcal{P})$의 모든 event에 대해 확률이 같습니다.

(확률이 같아지는 event만 모은 collection을 고려했는데 이것이 $\sigma$-field가 된 것입니다.)

5. 우리는 $\pi$-system에서만 확률이 같은지 확인하면 되고, 보통 $\mathbb{R}$에서 $\pi$-system은 $(\infty,a) \forall a$ 같은 것들의 집합입니다.

 

결론

Dynkin's $\pi-\lambda$theorem의 완벽한 증명과 그 Corollory에 대해 보았습니다.

Main idea는 $g_A,g_B$가 $\lambda system$이어서 $\mathcal{l}(\mathcal{p})$을 포함한다는 것이었습니다.

 

더불어 우리는 두 Measure가 같은지 체크할 때 $\sigma$-field 전체가 아닌 그가 포함하는 $\pi$-system에서만 확인해도 됨을 알게 되었습니다.

 

다음 시간은 집합에서의 $\limsup$, random variable의 정의 등을 알아보겠습니다.

 

그럼 안뇽