수리통계를 위한 해석학

찍먹 측도론 3 Dynkin πλ theorem(Dynkin Pi-lambda theorem)

juhongyee 2024. 7. 11. 21:12
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서론

지난 시간에는 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보았습니다. 그런데 이 정리에서 σ-finite라는 조건을 추가했을 때는 그 measure가 unique 하게 존재합니다.

이는 Probability measure에서 일반적인 상황입니다. 그렇다면 한 번 증명해봐야겠죠?

 

이 uniqueness를 증명하기 위한 초석은 Dynkin πλ theorem을 증명하는 것입니다.

이를 위해 π system과 λ system에 대해서도 차근차근 알아보죠!

 

본론

Definition of π system

π system의 정의부터 찬찬히 알아봅시다. 다음은 그 서술입니다.


A collection of A is a π - system if A,BA then ABA and A


간단하죠? 교집합과 공집합이 A에 속하면 π system입니다. ring의 하위호환으로 union은 성립하지 않아도 됩니다.

 


Definition of λ system

이번엔 λ system의 정의입니다.


A collection of subsets L is a λ system if

 

- ΩL

- A,BL s.t if AB then BAL

- if {Ai}i=1 pairwise disjoint, AiL, the i=1AiL


 

굉장히 σ - field와 비슷하죠? 하지만 다른 점이 있습니다. 두 번째를 자세히 보시면 차집합에 대해 닫혀있는 게 아닙니다. 부분집합인 경우 차집합이 L에 속하는 거죠.

또 세 번째의 pairewise 부분에서도 겹치지 않을 때의 countable union만 λ system에 속합니다.

 

이 지식들을 토대로 Dynkin πλ theorem을 증명해 봅시다.

 

Dynkin πλ theorem

일단 이 정리가 무엇인지 알아야겠죠.


Let A be a π system, L be a λ system.

And AL. Then σ(A)L


Aπ system이며 λ system에 속한다면 그 generated σ-field도 L에 속한다는 의미입니다. 원래 σ-field는 유일하지 않지만 가장 작은 σ-field는 유일합니다. 가장 작다(smallest)의 정의는 아래에서 보이겠습니다.

 

자 증명해 봅시다.

proof of Dynkin πλ theorem

먼저 L0가 smallest λ system s.t AL0라고 해봅시다.

 

smallest?

그러면 여기서 A를 포함하는 smallest의 정의를 알 필요가 있습니다.

이의 정의는 A를 포함하는 모든 λ system의 교집합입니다. 그러면 다시 질문이, λ system의 교집합은 교집합인지 생각해 봐야겠죠.

L0=LLλ system인지 알아봅시다. λ system의 정의를 따라가면 됩니다.

 

- 일단 ΩA는 자명합니다. 모든 LΩ를 가지고 있기 때문입니다.

- 다음은 차집합인데, A,BL0에 속한다고 해보죠. 그러면 모든 LA,B가 속해있었다는 뜻입니다. 그러면 모든 L들은 λ system의 정의에 의해 AB도 가지고 있었습니다. 그러므로 그들의 교집합인 L0AB를 가집니다.

 

- countable union도 위와 정확히 동일한 원리로 성립합니다.

 

즉, L0가 잘 존재하여 우리가 선택할 수 있습니다.

(L s.t AL의 존재성에 대해 더 고려할 점이 있지만 별 거 아니므로 패스하겠습니다.)

 

다시 본 증명으로 돌아옵시다.

 

우리의 목표는 L0π system이라는 것과, π system과 λ system을 동시에 만족하는 set의 집합은 σ field임을 보이는 것입니다.

 

결국 σ(A)L0L을 보이고자 합니다.

 

step1 Show that L0 is contains all intersections with element of A

먼저 L={BL0:BAL0,AA} 을 정의합시다.

 

먼저 L0A를 포함한다는 걸 기억합시다. 그러면 L은 최소 A는 포함하겠죠. 왜냐하면 AA들은 Aπ system이므로 정의를 만족합니다.

 

즉, AL입니다.

 

자, 이제 Lλ system임을 보여봅시다.

λ system의 정의를 하나하나 체크합시다.

 

- 일단 Ω를 당연히 포함합니다. A를 부분집합으로 가지고 있기 때문입니다.

 

- B1,B2L 이고 B1B2라고 합시다. 그러면 L의 정의에 의해 B1A,B2AL0입니다.

그렇다면 (B1A)(B2A)=(B2B1)AL0가 만족함을 쉽게 보일 수 있습니다. B1B2의 부분집합이고, 각각이 L0에 속하므로 그 차도 L0에 속합니다..

 

즉, B2B1L입니다.

 

- {Bi}i=1L 이고 pairwise disjoint라고 해봅시다.(또 AA)

그러면 L의 정의에 따라 ABiL0임을 활용해보면i=1(ABi)L0겠죠? λ system의 세 번째 정의에서 Bi가 pairwise disjoint하기 때문에 위 문장이 성립합니다.

 

즉, i=1(ABi)=Ai=1Bi이므로 Ai=1BiL0에 속하게 됩니다.

그러므로 L의 정의에 따라 i=1BiL입니다.

 

즉, L은 λ system인데요. 정의에 따라 LL0겠죠? L0 내에서 택하여 L을 만들었으니까요. 그런데 다시 L0는 minimal, 즉, 가장 작은 λ system입니다. 이로부터, L=L0임을 알 수 있겠습니다.

 

step2 Show that L0 is closed under intersection

이번엔 L={BL0:BAL0,AL0} 을 정의합시다.

그렇다면 L0에  A가 속하기 때문에, L의 정의에 따라 L=L0L이 성립합니다.

 

이때, LL0에서 택하여 정의했기 때문에 LL입니다.

 

즉, L=L0이고, L0 는 closed under intersection이라고 할 수 있겠습니다.

 

step3 proof by using the fact that collection of sets that is both λ and π system is σ-field

우리는 정의를 통해 λ system이고 π system 이면 σ-field임을 알 수 있습니다.

L0σ-field임을 알 수 있죠.

 

그런데 모든  σ-field는 λ system이므로 가장 작은 λ system이 π system이기까지 하니 L0(smallest)는 σ(A)(smallest)가 됩니다.

 

즉, σ(A)L입니다.

그림으로 표현해 보면 아래와 같습니다.

결론

σ(A)L라는 좋은 결과를 얻어냈는데 이는 measure의 uniquness를 증명할 때 쓰입니다!

사실 σ(A)의 의미를 글을 쓰는 중간까지도 잘못 알고 있었어서 고생을 좀 했습니다.

 

다음 포스팅은 uniqueness를 증명해 보겠습니다. 그런데 이제는 시간이 좀 부족해서 나중에나 올릴 것 같네요!

그럼 다음에 뵙겠습니다ㅏㅏ