서론
지난 시간에는 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보았습니다. 그런데 이 정리에서
이는 Probability measure에서 일반적인 상황입니다. 그렇다면 한 번 증명해봐야겠죠?
이 uniqueness를 증명하기 위한 초석은 Dynkin
이를 위해
본론
Definition of system
A collection of
간단하죠? 교집합과 공집합이
Definition of system
이번엔
A collection of subsets
-
-
- if
굉장히
또 세 번째의 pairewise 부분에서도 겹치지 않을 때의 countable union만
이 지식들을 토대로 Dynkin
Dynkin theorem
일단 이 정리가 무엇인지 알아야겠죠.
Let
And
자 증명해 봅시다.
proof of Dynkin theorem
먼저
smallest?
그러면 여기서
이의 정의는
- 일단
- 다음은 차집합인데,
- countable union도 위와 정확히 동일한 원리로 성립합니다.
즉,
(
다시 본 증명으로 돌아옵시다.
우리의 목표는
결국
step1 Show that is contains all intersections with element of
먼저
먼저
즉,
자, 이제
- 일단
-
그렇다면
즉,
-
그러면
즉,
그러므로
즉,
step2 Show that is closed under intersection
이번엔
그렇다면
이때,
즉,
step3 proof by using the fact that collection of sets that is both and system is -field
우리는 정의를 통해
즉
그런데 모든
즉,
그림으로 표현해 보면 아래와 같습니다.

결론
사실
다음 포스팅은 uniqueness를 증명해 보겠습니다. 그런데 이제는 시간이 좀 부족해서 나중에나 올릴 것 같네요!
그럼 다음에 뵙겠습니다ㅏㅏ
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