해석학 정리 2 수열의 극한 예제 문제 풀이2-1(Bartle and Sherbert)

서론

지난 포스팅에서는 가장 기초적인 수열의 극한을 다루었습니다.

이번에는 Bernoulli's inequality와 Squeeze Theorem을 살펴보고 다음 포스팅에서는 이를 활용한 예제를 살펴보겠습니다.

 

언제나 그렇듯 제가 이해한 것들이나 푼 문제들을 해설하기 때문에 틀릴 수 있습니다...! 참고해 주세요 ㅎ

 

본 포스팅은 Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to real analysis (4th ed.). Wiley를 참고합니다.

 

본론

Bernoulli's inequality

베르누이 부등식에 대해 알아봅시다. exponential과 linear간의 부등식이어서 광범위하게 사용되는 부등식입니다.

책에는 Mathematical Induction으로 증명되어있는데 그렇게 할 필요도 없습니다. 일단 Definition부터 보죠.

 

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If $x > -1$,

then $(1+x)^n \geq 1+nx$

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증명은 너무 간단한데요. $(1+x)^n$의 이항전개를 생각해봅시다. 그러면 $\textcolor{red}{1+nx}$$+\frac{n(n-1)}{2}x^2 ...$ 요렇게 나오겠죠.

이는 Maclaurin Series입니다. 즉, $1+nx$는 $x=0$에서의 접선이 되죠.

$(1+x)^n$의 second derivative는 $n(n-1)(1+x)^{n-2}$입니다. $x>-1$에서 항상 양수입니다. 즉, Convex(아래로 볼록)이죠.

 

Convex에서 접선은 항상 Graph보다 아래에 있기 때문에 위의 부등식이 성립합니다 ㅎㅎ

 

출처 : wikipedia Convex (증명이 궁금하면 댓글을 남겨주세용)

 

Squeeze Theorem

고등학교 때도 가끔 사용하는 Squeeze Theorem, 다른 이름으로는 샌드위치 정리입니다.

원래는 Bartle and Sherbert의 thm 3.1.10을 소개하고 이를 통해 풀어야 하는데 thm 3.1.10이 Squeeze thm의 Corollary이기 때문에 그냥 squeeze Thm만 증명하겠습니다.

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Suppose that $X = (x_n), Y = (y_n),$ and $Z = (z_n)$ are sequences of real numbers such that

$x_n \leq y_n \leq z_n \space\space \forall n \in \mathbb{N}$,

and that $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = \lim_{n \to \infty}(z_n)$.

Then $Y = (y_n)$ is convergent and $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = \lim_{n \to \infty}(z_n) = \lim_{n \to \infty}(y_n)$

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어떤 수열에 대해 위아래 bound하는 수열이 같은 값으로 수렴한다고 해봅시다.

그러면 그 수열의 수렴값은 bound하는 수열의 수렴값과 같다는 내용입니다.

 

증명해 봅시다. 매우 쉽습니다.

Proof)

Let $\epsilon > 0$.

$x_n,z_n$이 w로 수렴한다고 가정해 봅시다.

Then, 어떤 $N_1$을 잡아서 $N_1$ 보다 큰 $n$들에 대해 $|x_n-w| < \epsilon$을 만족시킬 수 있고,

어떤 $N_2$에 대해 $|z_n-w| < \epsilon$을 만족시킬 수 있습니다.

 

새로운 N을 $\sup(N_1,N_2)$로 잡아주면 $|x_n-w| < \epsilon$,$|z_n-w| < \epsilon$을 동시에 만족시킬 수 있습니다.

 

$x_n-w \leq y_n-w \leq z_n-w \space\space \forall n \in \mathbb{N}$ 이므로 $n \geq N$에 대해

$$-\epsilon < y_n-w < \epsilon \leftrightarrow |y_n-w| < \epsilon$$ 이 성립합니다.

 

$\therefore \epsilon$이 arbitrary하므로 $Y \rightarrow w$입니다.

 

결론

베르누이 부등식과 샌드위치 정리를 살펴보았습니다. 둘 다 증명은 참 쉽죠?

다음 포스팅에서는 이를 활용해서 5가지 예제를 풀어보겠습니다.

 

여력이 된다면 Exercise의 문제도 몇 문제 풀어서 보여드릴게요.

 

다음 포스팅에서 만나용!