찍먹 측도론 Introduction(measure theory)

서론

확률 측도(Probability Measure)가 대체 무엇일까 고민하던 나날 중 측도론(Measure Theory)를 공부해야겠다는 마음을 먹었습니다. 시간이 많이 않기 때문에 핵심만 훑으면서 일주일컷을 내려고 했지만...

 

진짜 대충만 알게 됐습니다 ㅋㅋㅋㅋ 그래도 아는 것 범위 내에서는 이해한 것 같아서 기록을 남겨두려 합니다.

 

본 포스팅은 https://www.youtube.com/@cachelackmathstatslectures7001 강의를 듣고 이해한 바를 중심으로 하고 있습니다.

 

본론

일단 2024/07/04, 이 글을 쓰는 첫 날에 제가 이해하지 못하거나 아직 모르는 것을 서술해 보겠습니다.

 

1. Measureable의 직관적 정의

Measureable의 정의가 다음과 같은데요.

Set $A$ is $\mu$ measurable if and only if $ \mu (E) = \mu (E \cap A) + \mu (E \cap A^{c})$

 

흠, measureable 하다면. $ \mu (E) = \mu (E \cap A) + \mu (E \cap A^{c})$ 이 만족해야 할 것 같긴 한데, 이게 measurable 한 if 조건이 되는지 잘 모르겠습니다. 겨우 이 정도로 충분한가?라는 생각이 드네요.

 

아직도 고찰이 필요하군요.

 

2. Integration over measure

처음에는 measure가 아예 뭔지도 몰라서 Lebesgue measure부터 공부했습니다. 그런데 나중에 Lebesgue integral 같은 게 나오더라고요. Probability measure 위에서도 적분이 되어야 할 텐데 아직 그건 잘 모르겠습니다.

 

3. 왜 measure는 sigma-field를 꼭 domain으로 가져야 할까?

뭔가 알겠는데 모르겠는 부분입니다.

sigma field의 정의만 보면 확실히 필요할 것 같은데, 아직 example들도 덜 보고 숙달이 덜 되어서 당연하게 받아들이는 수준에 도달하지 못했습니다.

 

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지금부터는 제가 이해한 measure의 개요를 적어보겠습니다.

아직까지 제가 알고 있는 measure는 pre - measure, outer measure, measure입니다.

아래는 참고용으로 집합의 포함관계를 그려놓았습니다.

 

1. Definition of ring of sets

pre-measure는 ring of sets에서 보통 정의합니다.

일반적인 ring of sets의 정의는 다음과 같습니다.

A nonempty family of sets $R$ is called a ring
if $A,B \in R \Rightarrow A \cup B \in R$ and $A,B \in R \Rightarrow A \cap B \in R$

 

그런데 measure theory에서는 아래의 정의를 주로 씁니다.

A nonempty family of sets $R$ is called a ring
if $A,B \in R \Rightarrow A \cup B \in R$ and $A,B \in R \Rightarrow A \backslash B \in R$

 

그런데 사실 둘은 동일한 집합입니다. 조건을 만족하는 집합의 모임인데 두 집합이 동일함을 쉽게 보일 수 있습니다!

우리는 measure theory에서 사용하는 ring의 정의를 씁시다. 그게 편하거든요.

definition of set function

이제 pre-measure를 정의해야 하는데 set function에 대해서 먼저 정의해야 합니다. 근데 그건 건너뛰겠습니다.

걍 set의 set(a collection of sets)에 대해 $\mathbb{R^{+}} \cup \{\infty\}$ 즉, 확장된 양의 실수로 가는 함수입니다.

 

2. definition of pre-measure

premeasure는 ring $\mathcal{A}$에서 $\mathbb{R^{+}}$로의 함수입니다. $\mu$라고 부를게요.

대신 아래의 조건을 만족해야 합니다.

$\mu (\varnothing) = 0$
$\mu$ is countably additive(좀 이따가 자세히 설명할게요!)

 

premeasure는 ring에 속하는 집합들에 대해 측정방법이라고 보시면 됩니다. 그런데 이걸로 충분한 거 아닌가? 생각도 들었는데요. 실제로 우리가 알고 있는 많은 collections of sets의 측정에는 ring만으로는 부족합니다.

아직 설명드리지는 않았지만 ring이 countable union에 닫혀있고 전체 집합을 포함해야 우리가 자주 다루는 수학적 대상인  collections of sets가 되어서요. 우리는 이를 확장할 필요가 있습니다.

 

여기서 countably additive를 설명하겠습니다.

 

$\mu$ is countably additive if $\mu (\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i)$ ,($A_i$s are pairwise disjoint)

 

어떤 서로 교집합이 없는 집합들을 countable 하게 모았다고 해봅시다.

countable은 자연수 집합에 대응될 수 있다는 뜻입니다~. 말 그대로 셀 수 있다고 이해하시면 되고요. 

이 집합들의 합집합은 서로 겹치는 부분이 없을 텐데 각각의 measure를 더해서 합집합의 measure로 쓸 수 있다는 겁니다. 셀 수 있게 많은 경우만 말이죠!

 

이런 조건이 필요한 이유는 작은 집합들의 조각들을 모아서 큰 집합의 크기를 측정하기 위해서라고 이해하시면 되겠습니다. $1cm^2$ 정사각형 모눈종이로 정수 길이의 가로 세로를 가진 직사각형을 측정한다고 생각하시면 좋을 것 같아요. countable union은 매우 작은 크기까지 다양한 정사각형 모눈 종이로 특이한 도형의 크기를 측정하는 경우로 생각할 수 있겠습니다.

칠교놀이처럼요 ㅋㅋ 이건 사각형은 아니지만.

출처: 나무위키 칠교놀이

 

3. Definition of Field

$\mathcal{A}$ is called Field if $\mathcal{A}$ is a ring and $\Omega \in \mathcal{A}$

 

지금 상황이 전체집합 $\Omega$가 존재하고 그 Power set $\mathcal{P} (\Omega)$의 부분집합으로 ring $\mathcal{A}$이 존재하는 상황입니다.

그때 그 ring이 전체집합 $\Omega$를 포함하기만 하면 끝입니다.

 

4. Definition of $\sigma$-field($\sigma$ algebra)

갑자기 이게 왜 튀어나왔나 싶을 수도 있는데요. 이 친구가 measure theory의 핵심입니다.

 

일단 정의를 간단하게 알아보죠. $\sigma$-field는 일단 기본적으로 field에 countable unions가 포함된다면 이를 $\sigma$-field라고 부릅니다. 이 $\sigma$가 countable이라는 의미를 담고 있습니다.

 

기존 field의 union은 $A \cup B$ 였는데 이젠 이게 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$로 바뀝니다. 이번엔 Pairwise disjoint 조건은 없습니다.

일단 정의를 정리해 보면 다음과 같습니다.

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(From Statistical Inference(2rd, George Casella, Roger L. Berger))

A collection of subsets of $\Omega$ is called a $\sigma$ - field, denoted by $\mathcal{B}$, if it satisfies the following three properties:

a. $\varnothing \in\mathcal{B}$ (the empty set is an element of $\mathcal{B}$)
b. If $A \in\mathcal{B}$ then $A^c \in \mathcal{B}$

c. If $A_1, A_2, ... \in \mathcal{B}, then \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{B}$ ($ \mathcal{B} $ is closed under countable unions)

 

a번에서는 공집합이 집합에 속하는데 complement가 집합에 속하므로 $\Omega$도 집합에 속합니다.

 

여기 b번에서 원래 ring에서는 차집합이었던 게 complement로 바뀌었죠? 그래도 괜찮습니다. 왜냐면 DeMorgan에 의해서 complement와 합집합이 집합에 속하면 $A^c \cup B^c$가 집합에 속하고 $A \hat B$가 집합에 속하기 때문입니다.

그러면 교집합이 집합에 속하니, 위에서 말씀드린 것처럼 차집합이 속하는 것과도 같습니다. 즉 ring이라는 거죠.

 

c번은 앞서 말씀드린 Countable Unions입니다.

 

Pre-measure는 ring에서 정의했는데 ring은 closed under Countable Unions를 만족하지 않았습니다. 그러나 $\sigma$-field에서는 이를 만족합니다. 하지만 pre-measure가 이 위에서 잘 정의될지는 아직 모르는 일입니다.

 

5. def of outer measure

outer measure는 pre-measure를 기반으로 정의하는 measure입니다.

ring에 대해 pre-measure를 정의했죠? 이제 ring의 집합들은 pre-measure로 측정할 수 있습니다. 이제 이 ring의 집합들을 도구로 $\Omega$의 Powerset, 즉, 모든 집합을 측정해 보자는 뜻입니다. outer measure를 통해서요. 자세한 방법은 Carathéodory extension theorem Posting에서 다루겠습니다.

 

outer measure $\mu^*$는 $\mathcal{P} (\Omega)$에서 $\mathbb{R^{+}} \cup \{\infty\}$로의 함수입니다.

또한 아래의 조건을 만족해야 합니다.

$\mu^* (\varnothing) = 0$
$\mu^*$ is countably subadditive

 

countably subadditive란 pre-measure에서 설명한 countably additive의 약한 버전입니다.

다음의 서술과 같고 countably additive와 비교했을 때 등호만 부등호로 바뀐 버전입니다.

$\mu^*$ is countably subadditive if $\mu (\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i)$ ,($A_i$s are pairwise disjoint)

 

위의 조건을 모두 만족하면 outer measure라고 할 수 있겠습니다.

 

6. def of measure

드디어 measure입니다. 이 측정 즉, measure는 어디서 가능한 걸까요? 그 domain을 보면 알 수 있는데 measure는 $\sigma$-field를 domain으로 갖습니다. countable unions에 닫혀있는 것이 주요한 역할을 하는데 그 필요성은 다음의 정의에서 엿볼 수 있습니다.

 

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From Wikipedia, measure

Let $\Omega$ be a set and $\Sigma$ a $\sigma$-field over $\Omega$. A set function $\mu$ from $\Sigma$ to the extended real number line is called measure if the following conditions hold:

 

Non-negativity : For all $E \in \Sigma, \mu (\Sigma) \geq 0$

$\mu (\varnothing) = 0$

Countable additivity(pre-measure에서 설명한 것!)

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measure에서도 Countable additivity가 성립하죠? 그 정의는 아래와 같았습니다.

$\mu$ is countably additive if $\mu (\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i)$ ,($A_i$s are pairwise disjoint)

 

 ring에서는 finite unions에는 닫혀있는데 countable unions에 대해서는 닫혀있지 않았습니다. 그래서 countable 개의 set을 합집합해도 그 결과가 ring에 들어있지 않기 때문에 ring은 측정할 수 있는 모든 set을 모아놓은 것은 아니겠죠.

결국 measure가 정의된 그 성질을 만족하고 그 만족하는 집합들을 모두 모아 놓은 집합은 $\sigma$-field의 형태가 되어야 할 겁니다.

 

결론

제가 이해하기로 measure가

1. 작은 measurable 한 측정도구와 같은 집합들로

2. 큰 집합들을 덮어 측정을 하는 컨셉입니다.

3. 즉, 새롭게 측정한 그 큰 집합들까지 모아놓으려면 closed under finite unions가 필요하고 그래서 $\sigma$-field를 domain으로 가져야 합니다.

(Carathéodory extension theorem으로부터의 작은 이해여서 지엽적일 수도 있습니다.)

 

measure에 대해 삽질도 많이 하고 여러 자료도 찾아보다 보니 Probability measure도 조금씩 느낌이 오네요.

참 재밌습니다. 여러분들도 재미를 느끼셨으면! 좋겠습니다!