수리통계를 위한 해석학

Moment Generating Function의 미분가능성? 2(feat. Weierstrass M test)

juhongyee 2024. 6. 22. 01:13
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서론

이 글은 power series의 미분가능성을 해석학적으로 알아보는 두번째 글입니다. 이 글을 통해 m.g.f가 어째서 미분 가능하고 우리가 잘 적률을 구할 수 있는지 결론을 얻어봅시다.

이전 글에서는 Uniform Convergence의 개념과 Cauchy Criterion에 대해 알아보았습니다.

 

이번 글에서는 이들을 활용하여 power series의 uniformly convergent에 대해 알아봅시다.

더불어 일반적인 sequence of functions의 미분가능성(differentiability)를 확인해봅시다.

 

본 포스팅은 Principles of Mathematical Analysis.3rd(Rudin)을 참고하고 있으며 서적에서 다루는 증명을 해설합니다.

본론

Weierstrass M test

sum of functions를 수렴성을 판단하는데에는 정말 유명한 정리가 존재합니다.

바로바로 Weierstrass M test 입니다.

 

Weierstrass M test는 function fnMn에 대해 bound 되고 n=0Mn이 수렴한다면 함수 n=0fn(x)가 uniformly converge한다는 의미입니다!

그러니까 함수의 bound를 쉽게 찾고 그의 sum이 수렴함을 보일 수 있다면 함수의 sum이 uniformly converge함은 따라옵니다.

 

정의 Rudin thm 7.10


 

Suppose fn is a sequence of functions defined on E, and suppose |fn(x)|Mn(xE,n=1,2,3,...).

Then fn converges uniformly on E if Mn converges. 


증명이 매우 쉬워요~ 앞에서 배운 Cauchy Criterion을 사용하면 됩니다.

증명은 더보기에 적어두겠습니다 ㅎ 필요하신 분은 확인해보세요.

 

증명

더보기

|fn(x)|Mn을 만족하는 Mn을 잘 찾았다고 합시다.

 

예를 들어 1x2+n2Mn으로 1n2를 잡았다고 합시다. x가 무슨 값이던 그 절댓값보다 1n2이 더 크겠죠?

 

이 때, Mn이 수렴한다고 가정합시다. 여기서 Mn은 그냥 수열(sequence)이므로 uniformly converge같은 개념이 없습니다.

sum이 수렴한다는건 지난 포스팅에서 설명했듯 m번째까지의 합으로 만든 새로운 수열이 수렴한다는 의미와 같습니다. 즉 sm=n=0mMn라는 수열이 수렴하는 것과 같구요. 이제 수열의 수렴의 정의를 사용합시다.

 

Let ϵ>0 be given. ㅋㅋㅋ 정말로 많이쓰는 말인데요. ϵ 하나를 선택했다는 뜻입니다.

그러면 수열의 수렴의 정의에 따라 어떤 자연수 M(Mn아닙니다)이 존재해서 M보다 큰 m들에 대해 n=0mMnϵ 이 성립할 겁니다.

 

그런데 지금 |fn(x)|Mn에 bound되어있기 때문에  $ \sum_{n=0}^{m} |f_n(x)| \leq \sum_{n=0}^{m} M_n \leq \epsilon$ 이라고 할 수 있습니다. 그냥 유한개의 합이니 자명하죠? 더 큰 숫자를 더하는게 항상 더 클겁니다.

 

자 여기서 과정을 하나하나 봅시다.

1. n=0m|fn(x)|n=0mMnϵ 는 확인했구요.

2. |n=0mfn(x)|n=0m|fn(x)| 이 성립합니다. 이건 삼각부등식(triangle inequality)입니다.

3. |n=tmfn(x)||n=0mfn(x)| 그 어떤 t에 대해서도 이 식이 성립하겠죠?

 

위의 식들을 하나로 만들어봅시다.

|n=tmfn(x)|ϵ을 얻을 수 있죠? t를 앞서 수열의 수렴의 정의에서 선택한 M보다 크게 임의의 것을 선택합시다. 그러면? 이것 이전 포스팅에서 자세히 알아본 Cauchy Criterion을 만족한다는걸 알 수 있습니다.

왜 일까요? sigma의 성질때문이겠죠? |n=tmfn(x)|=|n=0mfn(x)|n=0tfn(x)|=|smst|ϵ  이기 때문입니다.

 

그러므로 $s_m = \sum_{n=0}^{m} |f_n(x)|$ 이 uniformly converge합니다.

위의 Weierstrass M test는 정말정말 유용한 정리입니다. 앞으로 power series의 정리들을 증명할 때도 사용하겠습니다.

 

Sequence of functions의 미분

미분가능하다는 의미가 무엇일까? 이는 생각보다 단순한데 point a에서 미분가능하다는 것은 limnf(x)f(a)xa이 존재한다는 뜻입니다. f(x)f(a)xa라는 새로운 함수의 극한이 존재하면 된다 뿐이죠. 이것이 갖는 의미는 다음 문제입니다.

 

그럼 function sequence의 미분 fn(x)이 수렴하는 함수의 미분 f(x)로 수렴할까요?

뭔가 Uniformly converge하면 될 것 같은데 실상은 그렇지 못합니다.

 

Rudin Example 7.5의 fn(x)=sin(nx)n이 그 예시입니다. Uniformly convergent이지만 그의 미분은 수렴하지 못합니다.

그렇기 때문에 Sequence가 어떤 함수로 수렴하고 있을 때 그 미분도 잘 수렴하게 하고 싶다면 어떤 가정을 추가해줘야 합니다.

그 가정은 fn(x)가 uniformly converge한다는 것입니다.

이건 매우 강력한 가정으로 원래 sequence가 한 점에서만 converge하고 미분이 uniformly converge 하면 원래 함수도 uniformly converge하게 됩니다.

 

직관적으로 생각해봅시다.
도함수가 정해졌다는건 어디서 증가할지 감소할지에 대한 개형이 정해졌다는 것입니다.

한 점에서의 pointwise converge는 적분상수와 비슷하게 그 위치를 수렴하는 함수의 위치로 정하는 것과 같습니다.

도함수도 정해지고 그 위치도 정해지면서 잘 converge하니 원래 함수도 잘 converge할 것 같네요.

 

한번 정리를 확인하고 증명도 해봅시다..

Rudin Thm 7.17 미분의 수렴


Suppose fn is a sequence of functions, diffentiable on [a,b] and such that fn(x0) converges for some point x0 on [a,b]. If fn converges uniformly on [a,b], then fn converges uniformly on [a,b], to a function f, and f(x)=limnfn(x)(axb)


증명

더보기

ϵ>0이 주어졌다고 해봅시다.

우리가 앞선 포스팅에서 열심히 증명한 Cauchy sequence를 사용해보겠습니다. Statement의 가정에서처럼 fn(x)x0에서 pointwise converge합니다. 그러므로 적당한 N1을 택하고 그 N1보다 같거나 큰 n,m들에 대해(n,mN1) |fn(x0)fm(x0)|ϵ2가 성립함을 알 수 있겠죠. - Cauchy Pointwise version.

 

이번엔 도함수에 Cauchy를 써봅시다. 현재 구간 [a,b]에서 증명을 하고 있습니다. 앞으로 우리는 MeanValue Thm을 사용할 것이기 때문에 ϵ2(ba)에 대해 또 적당한 N2를 택해봅시다. 위와 비슷하게 N2보다 큰 n,m들에 대해 |fn(t)fm(t)|ϵ2(ba) 가 성립하도록 N2를 택합시다.

 

다음으로는 Nmax(N1,N2)로 새롭게 설정합시다. 그러면 새롭게 설정한 N은 위의 두 부등식을 동시에 만족시키는 N이 되겠죠?

좋습니다.

 

이번엔 결론적으로 우리가 증명해야할 것을 상기해봅시다. 결국은 |fn(x)fm(x)|ϵ임을 보이고 싶은겁니다.

여기서 우리는 |fn(x)fm(x)|=|fn(x)fm(x)fn(x0)+fm(x0)+fn(x0)fm(x0)|의 형식으로 식을 전개한 다음 |fn(x)fm(x)fn(x0)+fm(x0)+fn(x0)fm(x0)||fn(x)fm(x)fn(x0)+fm(x0)|+|fn(x0)fm(x0)| 과 같이 삼각부등식에 의해 전개한 후 증명을 시도할 겁니다.

마지막 항의 가장 뒤의 식인 |fn(x0)fm(x0)|는 Pointwise converge로 앞에서 끝냈습니다. 우리에게 남은건 |fn(x)fm(x)fn(x0)+fm(x0)|를 처리하는 겁니다.

 

x_0를 대입하지 말고 [a,b]에서 임의의 t를 선택합시다.

이로부터 우리는 |fn(x)fm(x)fn(t)+fm(t)|의 범위를 정해보겠습니다.

 

먼저 mean-value thm에 대해 알아보죠. [x,t]구간에서(사실은 Compact Set일 때) 연속함수(Continuous function)가 있다고 해봅시다. 이 구간의 처음에서 끝을 연결한 기울기 즉, f(t)f(x)tx에 대해 구간 내 어떤 x이 존재해서 f(x)=f(t)f(x)tx 라는 것이 mean-value thm입니다. 아래 그림은 그 시각화입니다.

 

출처 : Wikipedia,Mean value theorem

 

이 친구를 조금 더 응용하면 |f(b)f(a)|(ba)|f(x)| 임도 쉽게 보일 수 있습니다. Rudin thm 5.19에 그 증명이 제시되어 있는데 f(b)f(a)가 양수일 때와 음수일 때로 Case를 나누는 것이 더 직관적으로 보입니다.

|f(b)f(a)|(ba)|f(x)|를 우리의 식에 한 번 사용해보죠.

 

|fn(x)fm(x)fn(t)+fm(t)|에서 bxat로 간주하고 fnfm을 f로 생각합시다. 그러면 위의 부등식을 활용해서  |fn(x)fm(x)fn(t)+fm(t)|(xt)|fn(x)fm(x)| 으로 쓸 수 있습니다.

여기서 위의 f의 범위인 모든 x에 대해 |fn(x)fm(x)|ϵ2(ba)인 점을 사용하면(가장 처음에 있어용)  (xt)|fn(x)fm(x)|(xt)ϵ2(ba)로 쓸 수 있습니다. 이 때, xtba이므로 (xt)ϵ2(ba)(ba)ϵ2(ba)=ϵ2입니다.

 

이제 tx0를 대입하면 우리가 처리하고자 했던 |fn(x)fm(x)fn(x0)+fm(x0)|를 처리한 셈이 됩니다.

즉, |fn(x)fm(x)||fn(x)fm(x)fn(x0)+fm(x0)|+|fn(x0)fm(x0)|ϵ2+ϵ2=ϵ이고 by Cauchy,

 

fn은 uniformly continuous입니다.

 

자 이제 fn이 수렴하는 f를 정의합시다. 즉, f=limfn 입니다.

f가 정의된 구간 [a,b]에서 point x를 fix합시다.

그리고 기울기 함수 두 개를 정의하겠습니다.

 

1. ϕn(t)=fn(t)fn(x)tx

2. ϕ(t)=f(t)f(x)tx

 

첫번째 sequence에 관한 기울기함수입니다. 지금 우리는 x 하나를 정해둔 상태이고, t를 하나 정하고 fn에서 기울기를 정했습니다.(nN)

두번째는 수렴한 함수인 f에 관한 기울기 함수입니다.

 

먼저 sequence에 대한 기울기 함수는 가정에서 differentiable이라고 했기 때문에 그 수렴값이 존재하고 이는 미분의 정의에 따라 fn(x) 입니다. 즉, limtxϕn(t)=fn(x) 입니다.

 

ϕn은 uniformly converge합니다.

왜냐하면 |ϕn(t)ϕm(t)|=|1tx||fn(t)+fm(t)fn(x)fm(x)| 이기 때문에 위의 증명처럼 ϵ2(ba)보다 작음을 쉽게 보일 수 있습니다.(위의 증명에서 (xt)ϵ2(ba) 부분을 가져와보세요!)

By Cauchy, uniformly converge하죠.(xt)

 

사실 좀 쉽게는 fn이 uniformly converge하는 것을 보였기 때문에 그냥 lim를 씌워서 바로 보일 수도 있습니다 ㅋㅋ

 

그 converge하는 함수는 ϕ(t)가 될 겁니다. lim 씌워보면 자명합니다.

 

이제 우리는 limnϕn(t)=ϕ(t)라는 사실을 알고 있습니다.

다음으로는 양변에 limtx를 씌워보겠습니다.

 

우리가 증명없이 사용할 사실이 하나 있는데 Rudin thm 7.11의 f가 uniformly converge하다면 limtxlimnfn=limnlimtxfn 이라는 사실입니다. 중요한데 따로 포스팅하도록 할게요.

 

다시 본론으로 넘어가면 limtxϕ(t)=limtxlimnϕn(t)가 된 것이고


limtxlimnϕn(t)=limnlimtxϕn(t) 이 되며(Rudin thm 7.11)


limtxϕn(t)=fn(x) 이기 때문에(미분의 정의 + 미분 가능 가정)


limtxlimnϕn(t)=limnfn(x)입니다.

 

그런데 limnϕn(t)=ϕ(t) 이므로 (uniform convergence)

limtxϕ(t)=limnfn(x)입니다.

 

여기서 limtxϕ(t)는 다시 f의 미분인 f이죠?

즉, f=limnfn(x)라고 할 수 있겠습니다.

 

sequence의 미분의 극한은 수렴하는 함수의 미분입니다. 

결론

우리는 드디어 Sequence의 합이 uniformly converge함을 확인하는 법과 Sequence의 미분의 극한이 수렴하는 함수의 미분이 되게 하는 법을 알았습니다. 이걸 지금까지 한 이유는 Series를 잘 정의하고 그 미분도 Sequence를 기반으로 잘 정의하기 위함이었습니다.

 

다음 포스팅에서는 일반적인 Series에 대해 수렴성을 잘 정의하고 특수한 Series인 Power Series에 대해 알아봄으로 m.g.f의 미분가능성에 대해 알아보도록 합시다.