서론
이 글은 power series의 미분가능성을 해석학적으로 알아보는 두번째 글입니다. 이 글을 통해 m.g.f가 어째서 미분 가능하고 우리가 잘 적률을 구할 수 있는지 결론을 얻어봅시다.
이전 글에서는 Uniform Convergence의 개념과 Cauchy Criterion에 대해 알아보았습니다.
이번 글에서는 이들을 활용하여 power series의 uniformly convergent에 대해 알아봅시다.
더불어 일반적인 sequence of functions의 미분가능성(differentiability)를 확인해봅시다.
본 포스팅은 Principles of Mathematical Analysis.3rd(Rudin)을 참고하고 있으며 서적에서 다루는 증명을 해설합니다.
본론
Weierstrass M test
sum of functions를 수렴성을 판단하는데에는 정말 유명한 정리가 존재합니다.
바로바로 Weierstrass M test 입니다.
Weierstrass M test는 function
그러니까 함수의 bound를 쉽게 찾고 그의 sum이 수렴함을 보일 수 있다면 함수의 sum이 uniformly converge함은 따라옵니다.
정의 Rudin thm 7.10
Suppose
Then
증명이 매우 쉬워요~ 앞에서 배운 Cauchy Criterion을 사용하면 됩니다.
증명은 더보기에 적어두겠습니다 ㅎ 필요하신 분은 확인해보세요.
증명
예를 들어
이 때,
sum이 수렴한다는건 지난 포스팅에서 설명했듯 m번째까지의 합으로 만든 새로운 수열이 수렴한다는 의미와 같습니다. 즉
Let
그러면 수열의 수렴의 정의에 따라 어떤 자연수
그런데 지금
자 여기서 과정을 하나하나 봅시다.
1.
2.
3.
위의 식들을 하나로 만들어봅시다.
왜 일까요? sigma의 성질때문이겠죠?
그러므로 $s_m = \sum_{n=0}^{m} |f_n(x)|$ 이 uniformly converge합니다.
위의 Weierstrass M test는 정말정말 유용한 정리입니다. 앞으로 power series의 정리들을 증명할 때도 사용하겠습니다.
Sequence of functions의 미분
미분가능하다는 의미가 무엇일까? 이는 생각보다 단순한데 point a에서 미분가능하다는 것은
그럼 function sequence의 미분
뭔가 Uniformly converge하면 될 것 같은데 실상은 그렇지 못합니다.
Rudin Example 7.5의
그렇기 때문에 Sequence가 어떤 함수로 수렴하고 있을 때 그 미분도 잘 수렴하게 하고 싶다면 어떤 가정을 추가해줘야 합니다.
그 가정은
이건 매우 강력한 가정으로 원래 sequence가 한 점에서만 converge하고 미분이 uniformly converge 하면 원래 함수도 uniformly converge하게 됩니다.
직관적으로 생각해봅시다.
도함수가 정해졌다는건 어디서 증가할지 감소할지에 대한 개형이 정해졌다는 것입니다.
한 점에서의 pointwise converge는 적분상수와 비슷하게 그 위치를 수렴하는 함수의 위치로 정하는 것과 같습니다.
도함수도 정해지고 그 위치도 정해지면서 잘 converge하니 원래 함수도 잘 converge할 것 같네요.
한번 정리를 확인하고 증명도 해봅시다..
Rudin Thm 7.17 미분의 수렴
Suppose
증명
우리가 앞선 포스팅에서 열심히 증명한 Cauchy sequence를 사용해보겠습니다. Statement의 가정에서처럼
이번엔 도함수에 Cauchy를 써봅시다. 현재 구간
다음으로는
좋습니다.
이번엔 결론적으로 우리가 증명해야할 것을 상기해봅시다. 결국은
여기서 우리는
마지막 항의 가장 뒤의 식인
x_0를 대입하지 말고
이로부터 우리는
먼저 mean-value thm에 대해 알아보죠.

이 친구를 조금 더 응용하면
여기서 위의
이제
즉,
자 이제
또
그리고 기울기 함수 두 개를 정의하겠습니다.
1.
2.
첫번째 sequence에 관한 기울기함수입니다. 지금 우리는
두번째는 수렴한 함수인 f에 관한 기울기 함수입니다.
먼저 sequence에 대한 기울기 함수는 가정에서 differentiable이라고 했기 때문에 그 수렴값이 존재하고 이는 미분의 정의에 따라
또
왜냐하면
By Cauchy, uniformly converge하죠.(
사실 좀 쉽게는
그 converge하는 함수는
이제 우리는
다음으로는 양변에
우리가 증명없이 사용할 사실이 하나 있는데 Rudin thm 7.11의
다시 본론으로 넘어가면
그런데
여기서
즉,
결론
우리는 드디어 Sequence의 합이 uniformly converge함을 확인하는 법과 Sequence의 미분의 극한이 수렴하는 함수의 미분이 되게 하는 법을 알았습니다. 이걸 지금까지 한 이유는 Series를 잘 정의하고 그 미분도 Sequence를 기반으로 잘 정의하기 위함이었습니다.
다음 포스팅에서는 일반적인 Series에 대해 수렴성을 잘 정의하고 특수한 Series인 Power Series에 대해 알아봄으로 m.g.f의 미분가능성에 대해 알아보도록 합시다.
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