Moment Generating Function의 미분가능성? 3(feat. Power Series)

서론

자, Moment Generating Function을 왜 미분할 수 있는지 그 궁금증 풀기 위한 마지막 여정입니다.

m.g.f는 Power Series의 일종이기 때문에 Power Series를 미분할 수 있는지가 관심사였고, 다시 Power Series는 함수의 극한으로 표현할 수 있기 때문에 결국은 수렴하는 Sequence of functions가 미분가능한지를 확인하는 것이 우리의 관심사였습니다.

 

우리는 Rudin에 기술된 thm 7.8, thm 7.10, thm7.17를 증명해 오며 이 글까지 왔습니다.

Thm 7.8 Cauchy Sequence를 활용한 Uniformly Convergence

Thm 7.10 Weierstrass M test

Thm 7.17 Sequence의 도함수가 Uniformly Convergence하고 Sequence가 한 점에서 converge 하면 원래 Sequence가 Uniformly Convergence 하다는 것이었습니다.

 

이제 이를 이용해서 PowerSeries의 미분이 수렴함을 보여보죠.

 

본 포스팅은 Principles of Mathematical Analysis.3rd(Rudin)을 참고하고 있으며 서적에서 다루는 증명을 해설합니다.

본론

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$\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$ converges for $|x|<R$, and define $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n (|x|<R)$.
Then, $\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$ converges uniformly on for $[-R+\epsilon,R-\epsilon]$ $\forall\epsilon>0$

The function $f$ is continuous and differentiable in $(-R,R)$. and $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} nc_nx^{n-1}$.

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이 정리가 앞선 포스팅에서 설명했던 우리가 원하는 정리입니다. 결국 power series의 미분가능성에 대해 이야기하고 있습니다.

이를 이야기하기 전 Radius of Convergence를 알고 있을 때, 그 내부의 어떤 범위에 대해서도 Power Series가 Uniform Convergence 한다는 것을 증명하겠습니다.

사실 이는 조금 자명해보입니다. 결국 범위 내 모든 Point에서 같이 Converge 하는 거니까 더 작은 범위에 대해서도 성립해야 할 것 같습니다. 그러나 그 부분집합은 임의의 부분집합이 아니라 $R-\epsilon$을 Radius로 갖는 집합입니다.

확인해 보죠.

 

증명 1 - Uniformly Convergent in PowerSeries in radius R-$\epsilon$

Let $\epsilon >0$ be given.

$|x| \leq R-\epsilon$을 생각해 봅시다.

1. 그러면 양변을 n 제곱하고  : $|x|^n = |x^n| \leq (R-\epsilon)^n$

2. 절댓값을 씌우고 : $|x^n| \leq |(R-\epsilon)^n|$

3. $|c_n| \geq 0$을 양변에 곱합시다. $|c_nx^n| \leq |c_n(R-\epsilon)^n|$ 를 결론으로 얻을 수 있겠네요.

 

그런데 여기서 $\sum c_n(R-\epsilon)^n$을 고려합시다. PowerSeries는 수렴반경 내에서는 absolutely converge 하고 $R-\epsilon$은 $R$보다 작기 때문에 $\sum c_n(R-\epsilon)^n$는 absolutely converge 합니다.

 

이를 고려한 건 Thm 7.10의 Weierstrass M test를 이야기하기 위해서입니다. Bound 된 sequence의 sum 즉, $\sum c_n(R-\epsilon)^n$이 수렴하기 때문에, sum of sequence of functions, 즉, $\sum |c_nx^n|$는 수렴합니다 by Weierstrass M test.

 

헷갈리시면 다음 링크를 참고하세요!

https://juhongyee.tistory.com/23

Moment Generating Function의 미분가능성? 2(feat. Weierstrass M test)

 

이제 우리는 $[R-\epsilon,R+\epsilon]$에서 PowerSeries가 Uniformly Converge 함을 알 수 있습니다.

 

다음으로는 미분이 가능한지에 대해 확인해 봅시다.

 

증명 2 - Differentiablity of power series

우리는 두 개의 수식을 고려할 겁니다.

$\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$ 과 $\sum_{n=1}^{\infty} nc_nx^{n-1}$을 보겠습니다.

 

첫 번째 수식의 미분이 두 번째 식처럼 생겼지만 우리는 이를 미분이 아닌 각각의 power series로 간주할 겁니다. 무한차원의 미분은 정의하지 않았기 때문입니다.

첫번째 power series에 대한 정보로 두번째 power series를 분석해 보죠.

 

먼저 우리는 수렴반경에 대해 고민해 봅시다.

https://juhongyee.tistory.com/21?category=1185960

Moment Generating Function(m.g.f,적률생성함수)의 존재범위는?

위의 글에서 설명했듯, power series의 Radius of convergence는 $c_n$에 root test를 함으로 수렴하는 범위로 정해집니다. 그렇다면 두 번째 식의 Radius of convergence는 $nc_n$에 root test를 적용한 범위일 겁니다. 즉, $\limsup_{n\to \infty }\sqrt[n]{|nc_n|}$입니다.

 

이건 어떻게 구할 수 있을까요? 일단 $\limsup_{n\to \infty }\sqrt[n]{|c_n|} = R$ 이죠?

또한 $\lim_{n\to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$ 이므로 $\limsup_{n\to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$라고 할 수도 있습니다. 수렴하므로 $\lim$과 $\limsup$이 동일하기 때문입니다.

그러면 $\limsup_{n\to \infty }\sqrt[n]{n|c_n|} = \limsup_{n\to \infty }\sqrt[n]{|nc_n|}$은 위의 두 식을 곱한 것과 같으므로 R과 같아집니다.

 

즉, $\sum_{n=1}^{\infty} nc_nx^{n-1}$의 Radius of convergence는 $\limsup_{n\to \infty }\sqrt[n]{|nc_n|} = R$입니다.

증명 1에서 증명했듯 $\forall \epsilon > 0$ $[-R+\epsilon,R-\epsilon]$의 범위에서 Uniformly converge 한다는 사실도 쉽게 따라옵니다.

 

 자 우리가 열심히 증명한 Thm 7.17을 사용할 때가 되었습니다. 

우리가 첫 번째 식과 두 번째 식을 미분으로 간주하지 않기로 했는데, 이 식을 무한합이 아니라 유한합으로 써보면, $\sum_{k=0}^{n} c_kx^k$ 과 $\sum_{k=1}^{n} kc_kx^{k-1}$과 같이 되고 이는 확실히 미분입니다.

 

어? Thm 7.17은 sequence의 미분이 uniformly converge 하고 원래 sequence of functions가 한 점에서만 converge 하면 원래 수렴하는 함수의 미분으로 sequence의 미분이 수렴한다는 것입니다.

 

우리의 상황에 적용해 보면 ${\sum_{k=0}^{n} c_kx^k}$이라는 sequence고려하는 상황에

 그 미분인 ${\sum_{k=1}^{n} kc_kx^k}$가 uniformly converge 하고,

${\sum_{k=0}^{n} c_kx^k}$도 uniformly converge 하기 때문에 pointwisely converge 하기도 하는 상황입니다.

즉, thm 7.17을 적용해서 $f = \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$일 때,  $f' = \sum_{n=1}^{\infty} nc_nx^{n-1}$입니다.

 

원래는 $f'$과 $\sum_{n=1}^{\infty} nc_nx^{n-1}$이 같다는 보장이 없지만 Power Series의 경우에는 같은 것입니다!

 

헷갈릴까 봐 용어만 다시 정리해 보면 다음과 같습니다.

$f$ : sequence가 수렴하는 함수

${f_n}$ : sequence

${f_n'}$ : sequence의 미분

$f'$ : sequence가 수렴하는 함수의 미분인데 sequence의 미분이 수렴함. (오늘의 결론!)

 

결론

자 이제 Power Series의 미분이 왜 수렴하는지 알았습니다. Sum of sequence는 어떤 function sequence의 하나입니다. function sequence의 미분이 수렴하는 함수의 미분으로 잘 수렴하려면 조건이 필요했는데 power series는 root test의 범위 내에서 잘 uniformly converge 함으로 그 조건을 잘 만족합니다.

즉, 그 미분을 각 term을 미분한 것의 무한합으로 구할 수 있겠습니다.

 

사실 무한 미분이란 정의하지 않았는데 요런 방식의 무한 미분은 직관대로 가능합니다!

사실 Power Series 표현할 수 있다는 것은 analytic 하다, 해석적이다라고 표현하는데 굉장히 좋은 성질을 가집니다. 시간이 된다면 이에 대해 포스팅하는 시간을 갖겠습니다.

 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.