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수리통계를 위한 해석학

찍먹 측도론2 Carathéodory's extension theorem and proof

by juhongyee 2024. 7. 8.
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서론

오늘은 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보겠습니다. (완벽 증명)

 

이 정리는 정말 좋은 정리인데요! Ring에서 pre-measure를 잘 정의하면 이를 mesure로 잘 확장할 수 있다는 뜻입니다. 

 

이 정리의 필요성에 대해 생각해 봅시다.

어떤 ΩP(Ω)에 대해 measure가 쉽게 정의되지 않습니다. Lebesgue measure에 대해 Vitali set을 생각해 보면 직관적으로 존재해야 할 것 같은 measure에도 그 값이 존재하지 않을 수 있죠.

 

그런데 Carathéodory's extension theorem은 이런 경우를 배제하고 measure가 잘 존재하도록 하는 방법에 대해 알려줍니다.

한 번 그 과정을 따라가 봅시다..

 

본론

먼저 Carathéodory's extension theorem의 statement부터 알아봅시다.

 


Let Ω be a ring of sets on X and let μ:R[0,+] be a pre-measure on R.

Let σ(Ω) be the (borel)σ-algebra generated by Ω.

If μ : σ(R)[0,+] such that μ is an extension of μ.

Moreover, if μ is σ-finite then the extension μ is unique.


Carathéodory's extension Theorem의 statement입니다.

여기서 증명하기 전 outer measure μ에 대해 간단히 정의하고 시작하겠습니다.

 

Definition of outer measure

μ(E)=inf(iμ(Ai))EΩ

where the inf is taken over all countable collections of Ai s.t EiAi

 

outer measure는 결국 E를 덮는 가장 작은 방법의 measure로 정의하겠다는 의미입니다. 어떤 집합 E가 있을 때 Ring으로부터 E를 덮을 수 있는 Countable collections를 고려하고 이들의 합집합의 measure 중 가장 작은 값을 고르는 것입니다.

 

 이건 제 궁금증이었는데, inf()은 해석학적으로 의 값을 갖는다고 합니다. 즉 덮지 못하는 E에 대해서는 를 할당하여 모든 P(Ω)를 domain으로 가질 수 있습니다.

 

자 이제 본 증명을 시도해 봅시다.

 

Proof of Carathéodory's extension theorem

step1) prove stuff about μ

일단 BΩ 이고 μ(B)<라고 합시다.

 

그리고 μ의 성질들을 증명하고 시작하겠습니다.

- μ()=0 : 공집합을 덮는 방법 중 가장 작은 것은 공집합으로 덮는 것이고, μ는 pre-measure이기 때문에 그 값은 0입니다.

 

- μ is nonnegative for all B contained in Ω : μ is nonnegative

 

- μ is monotone : 이번 증명에서는 monotonic increasing만 사용하겠습니다.

 

만약 B1B2라고 가정하겠습니다. 그렇다면 μ(B1)μ(B2)입니다. 왜일까요? 만약 B2를 커버하는 Ai의 collections가 있다면 B1B2의 부분집합이므로 B1도 커버할 수 있습니다. 그러면 B1을 커버하는 collection의 inf는 최소한 Ai의 measure보다는 작게 됩니다.

 

- μ is countable subadditive : 일전에 말씀드린 outer measure가 만족해야 하는 성질입니다.

증명해 봅시다. 혼자서 증명해보려고 했는데 잘 안되더라고요. 아이디어가 신박합니다.

 

ϵ>0 하나와 {Bi}i=1(countable collection of Bi)를 택합시다.

그리고 BijAij 라고 합시다. Bi를 덮는 Aij들에 대해 생각하자는 건데요.

그러면 μ(Bi)는 covering의 infimum이기 때문에 항상 jμ(Aij)μ(Bi)+ϵ2i를 만족하도록 {Aij}들을 택할 수 있습니다.

 

이는 infimum의 정의 때문인데요, 어떤 집합 Xinf(X)는 어떤 ϵ에 대해서든 inf(X)보다 크고 inf(X)+ϵ보다 작은 xX를 선택할 수 있습니다.

굳이 ϵ2i로 택한 것은 뒤에서 이 값들을 쭉 더할 건데 등비급수를 사용해서 더한 값을 1로 만들 겁니다.

 

μ(i=1Bi)μ(i,jAij)=i,jμ(Aij)iμ(Bi)+ϵ

 

먼저 첫 번째 부등호부터 보죠.

μ(i=1Bi)μ(i,jAij)

 

μ은 outer measure입니다. 그리고 그곳에 B의 합집합을 넣었는데 outer measure는 이를 덮을 수 있는 Aij들의 infimum이므로 그냥 이를 덮을 수 있는 어떤 Aij들에 대해 pre-measure는 더 클 수밖에 없습니다.

덮을 수 있는 것들의 최소 덮을 수 있는 어떤 것은 당연합니다.

 

두 번째의 등호는 간단히 pre-measure의 countable additivity입니다.

 

세 번째의 부등호는 앞서 infimum의 정의로 선택한 μ(Bi)+ϵ2i를 싹 다 더한 겁니다. 앞선 Bi term은 그냥 sigma로 남아있고 ϵ term만 다 더해졌는데 등비급수로 인해 그 합이 ϵ이 되었습니다.

(i=12i=1)

 

음~ ϵ은 임의의 양수이므로 해석개론 가장 처음에 배우는 논리에 따라 ϵ을 지워버릴 수 있겠습니다. 증명은 원래 귀류법으로 하는데, 직관적으로는 아주 아주 아주 아주 작은 ϵ을 잡았으면 거의 비슷하다? 정도로 생각해도 되겠습니다.

 

즉, μ(i=1Bi)iμ(Bi) 입니다. countable subadditive죠.

이제 우리가 정의한 이것이 outer measure임을 증명을 끝냈습니다..

step2) Check that μ and μ coincide AA

자 이번엔 우리가 정의한 outer measure가 ring에서만큼은 premeasure와 같이 작동한다는 걸 보이겠습니다.

 

우리는 임의의 AA에 대해 μ(A)μ(A)임을 알고 있습니다. 왜냐면 자기는 자기 자신으로 덮을 수 있기 때문입니다.

자기 자신도 자기를 덮는 방법의 일종이라면 outer measure의 정의(infimum of pre-measure of covers)에 따라 그 값이 더 작거나 같을 수밖에 없겠습니다.

 

이번엔 AiAi라고 해봅시다. 당연히 이를 만족하는 iAi가 항상 존재하겠죠? A1=A, Ai=,ifi1로 잡으면 되니까요~

 

그러면 monotonically increasing property에 의해 다음 부등식이 성립합니다.

 

μ(A)iμ(AAi)iμ(Ai)

 

먼저 첫 번째 부등식은 {Ai}가 A를 덮으므로 AiA의 합집합도 A를 덮습니다.(ring의 정의에 따라 교집합도 ring에 포함됩니다. 즉, pre-measure가 존재합니다.)  AiA들은 pairwise disjoint 하지 않은데요, 이때는 가 성립합니다. countable additivity는 countable subadditivity를 imply 하고 있는데 가볍게 부등식이 성립함을 보일 수 있습니다. (premeasure0) 즉, monotinically increasing 하므로 본 부등식이 성립을 하는 거죠.

 

두 번째 부등식도 AiAiA를 포함하기 때문에, mononicity에 의해 성립합니다.

 

여기서 모든 A에 대해 A를 덮는 모든 방법에 대해 μ(A)가 같거나 작죠? 즉, μ(A)iμ(Ai)의 lowerbound가 되는 겁니다. 즉, infimum보다 lowerbound는 같거나 작기 때문에

 

μ(A)μ(A)AA입니다. 그런데 항상 μ(A)μ(A)AA가 성립하므로(def of infimum) ring의 원소 A에 한해 μ(A)=μ(A)입니다.

 

pre-measure와 outer measure가 같은 값을 가지네요!

 

step3) Check Am

m 은 collection of μ - measurable sets입니다. 어떤 set Aμ measurable set이라는 의미는 A를 μ에 대한 측정도구로 쓸 수 있다는 뜻입니다.

정의상으로는 다음을 만족해야 합니다.

μ(E)=μ(EA)+μ(EAc)EΩ

모든 집합에 대해 A와 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분으로 나누어 그 outer measure를 구할 수 있습니다.

 

원래는 μ는 subadditive이기 때문에 μ(E)μ(EA)+μ(EAc)가 성립하지만 그 반대도 성립하는 집합들의 collection이 m이 됩니다.

 

BΩ,ϵ>0 라고 합시다. 자 우리는 μ(B)<라고 정의했으므로 EiAi를 만족하는 {Ai}(countable collection)가 존재합니다.

그중 하나인 {Ai}를 택할 건데 μ(E)는 infimum으로 정의되므로 iμ(Ai)μ(E)+ϵ을 만족하는 {Ai}로 택하겠습니다.

 

더 나아가, EAi(AAi) , EAci(AcAi) 활용합시다.

위의 식은 EiAi의 양 변에 AAc를 교집합 한 후 분배법칙을 적용해 준 것입니다.

 

그러면 μ의 countable subadditivity에 의해 μ(EA)+μ(EAc)iμ(AAi)+μ(AcAi)=iμ(Ai)이 성립합니다.

 

첫 번째 부등식에서는 활용하기로 한 부분집합의 논리를 mu에 적용하고 infimum의 정의에 의해 바로 μ에 대한 부등식으로 바꿔준 것입니다.

 

두 번째 부등식은 μ(AAi)+μ(AcAi)=μ(AAi)(AcAi)) 임을 사용합니다. 서로 disjoint 하기 때문에 μ의 countable additivity를 활용했고요. 즉 이는 μ(Ai)와 같습니다.

 

이제 위의 를 참고해 보면  iμ(Ai)μ(E)+ϵ 입니다.

즉, μ(EA)+μ(EAc)μ(E) 라는 사실을 알 수 있습니다.(by arbitrary ϵ)

원래 countable subadditivity에 의해 μ(EA)+μ(EAc)μ(E) 가 성립하므로 즉, μ(EA)+μ(EAc)=μ(E) 입니다!

 

결국 ring A의 집합들은 모두 measurable 하므로 m에 속한다는 의미입니다.

step4) Show that m is a σ-field

자 이제 mσ-field 임을 보여보겠습니다.

 

일단 m입니다. 왜냐면 A m이기 때문입니다.

Ωm입니다. 왜냐면 μ(EA)+μ(EAc)=μ(E)의 A자리에 Ω를 넣어보면 알 수 있습니다.

 

자 이번엔 AB=(AcBc) 임을 이용해 m이 closed under intersection임을 보이겠습니다.

 

For B1,B2m and EΩ,

μ(E)=μ(B1E)+μ(B1cE)B1m

 

다음은 위의 두 집합을 B2에 관해 다시 measurable의 정의로 전개합니다.

 

=μ(E)=μ(B2B1E)+μ(B2B1cE)+μ(B2cB1E)+μ(B2cB1cE)

 

그다음은 countable subadditivity를 사용하여 첫 번째 항을 제외하고 나머지 항을 합집합 하겠습니다.

 

μ(E)=μ(B2B1E)+μ((B2B1cE)(B2cB1E)(B2cB1cE))

 

정리하면

 

=μ(E)=μ(B2B1E)+μ((B2B1)cE)가 성립합니다.

 

다시 countable subadditivity를 적용합시다.

 

μ(E)입니다.

 

우리가 처음에 μ(E)로 시작했죠? 마지막 부등식도 μ(E)로 끝났으니 중간의 식들에 모두 등호가 성립합니다. 즉,μ(E)=μ(B2B1E)+μ((B2B1)cE)=μ(E) 이고 이는 m이 closed under intersection임을 의미합니다.

 

이번엔 Closed under difference를 보이겠습니다.

그런데 우리가 교집합(intersection)에 대해 닫혀있음을 보였으므로 complement에 대해 닫혀있음을 보이는 것만으로 충분합니다. 왜냐면 ABc=AB 이기 때문입니다.

 

이건 진짜 쉽습니다. 설명 없이 수식만 쓰겠습니다.

μ(E)=μ(EBc)+μ(E(Bc)c)

 

즉,m은 Field입니다.

 

자 아직, σ-field는 아닙니다. 이를 보이기 위해 countable union에 닫혀 있음을 보여봅시다.

 

m으로부터 {Bi}를 pairwise disjoint 하게 택합시다. ({Bi}이란 표기법 자체가 countable이라는 의미입니다.)

그리고 B=i=1Bi라고 합시다.

 

이제 B1에 대해 measurable set의 정의를 사용합시다.

μ(E)=μ(EB1)+μ(EB1c)

 

다음엔 μ(EB1c) 항에 B2로 measurable set의 정의를 사용합시다.

 

μ(E)=μ(EB1)+μ(EB1cB2)+μ(EB1cB2c)

=μ(EB1)+μ(EB2)+μ(EB1cB2c)B1cB2

 

자 이 과정을 마지막 항에 반복해 주면 됩니다! 과정이 쉽게 예측이 되겠죠.

n번 반복했을 때

 

μ(E)=inμ(EBi)+μ(E{i=1nBic})

 

가 됩니다.

 

그러면 monotonicity와 subadditivity에 의해 n일 때,

μ(E)i=1μ(EBi)+μ(EBc)

가 성립합니다.

 

왜 그럴까요?

먼저 μ(E)=inμ(EBi)+μ(E{i=1nBic})inμ(EBi)+μ(EBc)

라고 할 수 있습니다. 뒤의 항만 바꾼 겁니다.

 

왜냐하면 Bci=1nBic 이기 때문입니다.

 

이제 n을 무한대로 보내봅시다. 그러면 i=1nμ(EBi) 이 수열은 monotonic increasing 하는 수열이죠? 그리고 upper bound가 μ(E)로 존재합니다. 그러므로 monotonic convergence thm에 의해 수렴합니다. i=1μ(EBi)가 존재하겠군요. 또 의 뒤의 두항 통째로가 supremum에 수렴할 테니 μ(E)i=1μ(EBi)+μ(EBc) 라고 할 수 있겠습니다.

 

자 식을 더 전개하겠습니다.

μ(E)

i=1μ(EBi)+μ(EBc)

μ(EB)+μ(EBc) subadditivity 

μ(E) subadditivity

 

아까와 같은 테크닉으로 부등식의 처음과 끝이 같으니 모두 등호가 성립합니다.

즉, μ(E)=μ(EB)+μ(EBc)

이는 Bm을 의미하므로, m이 closed under countable unions라고 할 수 있겠네요.

 

즉, mσ-field입니다.

 

step5) μ - countable additivity

자 위의 등호가 모두 성립한다고 했으니 μ(E)=i=1μ(EBi)+μ(EBc) 입니다.

여기에 E가 아닌 B를 넣어봅시다.

그러면 μ(B)=i=1μ(BBi) 입니다.

 

아하! Bm을 countable union으로 표현할 수 있으면 그 measure는 각각을 sum 한 거네요!

이건 countable additivity입니다! 그리고 outer measure가 measure로 extend 된다는 의미입니다!

 

우리는 이제 m의 부분집합인 σ(A)로부터 outer measure를 measure로 사용할 수 있게 되었습니다!

 

다시 정리하며 그 이유를 확실히 알아보죠.

 

1. 우리는 set function μ을 정의했습니다. (step 1)

2. 이는 m에서 measure로 작동함을 보였습니다. (step 5)

3. 그런데 Am 이고 m의 countable union은 다시 m에 속합니다. (step3, step4)

4. 그럼 A를 포함하고 그 countable union들을 다시 모아서 만든 σ(A)는 다시 m에 속합니다.

5. μmathcalm에서 measure이므로  σ(A)에서도 measure입니다. Q.E.D.

 

결론

Carathéodory's extension theorem에 대해 증명해 보았습니다.

우리가 ring에서 pre-measure를 잘 정의하면 그 ring으로부터 만든 σ-field에서 outer measure를 measure로 쓸 수 있다는 게 그 의미였습니다.

 

아직 uniqueness는 증명하지 않았습니다. σ-finite가 정의되어야 uniqueness가 성립하는데요... 처음부터 σ-finite를 정의하고 시작하면 증명에서 cover의 존재성에 대해 생각할 필요도 없어지고 더 편해지는데... 원래 증명이 이를 안 정의하기 때문에 정의 안 하고 증명해 봤습니다.

 

워낙 학부에서 잘 다루지 않는 내용인 것 같아 누군가에게 도움이 될지는 모르겠지만 혹시나 글을 읽게 되신다면 도움 되시길 바랍니다.

 

다음 uniqueness posting으로 뵙겠습니다.