서론
오늘은 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보겠습니다. (완벽 증명)
이 정리는 정말 좋은 정리인데요! Ring에서 pre-measure를 잘 정의하면 이를 mesure로 잘 확장할 수 있다는 뜻입니다.
이 정리의 필요성에 대해 생각해 봅시다.
어떤
그런데 Carathéodory's extension theorem은 이런 경우를 배제하고 measure가 잘 존재하도록 하는 방법에 대해 알려줍니다.
한 번 그 과정을 따라가 봅시다..
본론
먼저 Carathéodory's extension theorem의 statement부터 알아봅시다.
Let
Let
If
Moreover, if
Carathéodory's extension Theorem의 statement입니다.
여기서 증명하기 전 outer measure
Definition of outer measure
where the inf is taken over all countable collections of
outer measure는 결국 E를 덮는 가장 작은 방법의 measure로 정의하겠다는 의미입니다. 어떤 집합 E가 있을 때 Ring으로부터 E를 덮을 수 있는 Countable collections를 고려하고 이들의 합집합의 measure 중 가장 작은 값을 고르는 것입니다.
이건 제 궁금증이었는데,
자 이제 본 증명을 시도해 봅시다.
Proof of Carathéodory's extension theorem
step1) prove stuff about
일단
그리고
-
-
-
만약
-
증명해 봅시다. 혼자서 증명해보려고 했는데 잘 안되더라고요. 아이디어가 신박합니다.
그리고
그러면
이는 infimum의 정의 때문인데요, 어떤 집합
굳이
먼저 첫 번째 부등호부터 보죠.
덮을 수 있는 것들의 최소
두 번째의 등호는 간단히 pre-measure의 countable additivity입니다.
세 번째의 부등호는 앞서 infimum의 정의로 선택한
(
음~
즉,
이제 우리가 정의한 이것이 outer measure임을 증명을 끝냈습니다..
step2) Check that and coincide
자 이번엔 우리가 정의한 outer measure가 ring에서만큼은 premeasure와 같이 작동한다는 걸 보이겠습니다.
우리는 임의의
자기 자신도 자기를 덮는 방법의 일종이라면 outer measure의 정의(infimum of pre-measure of covers)에 따라 그 값이 더 작거나 같을 수밖에 없겠습니다.
이번엔
그러면 monotonically increasing property에 의해 다음 부등식이 성립합니다.
먼저 첫 번째 부등식은 {
두 번째 부등식도
여기서 모든
pre-measure와 outer measure가 같은 값을 가지네요!
step3) Check
정의상으로는 다음을 만족해야 합니다.
모든 집합에 대해
원래는
그중 하나인
더 나아가,
위의 식은
그러면
첫 번째 부등식에서는 활용하기로 한 부분집합의 논리를
두 번째 부등식은
이제 위의
즉,
원래 countable subadditivity에 의해
결국 ring
step4) Show that is a -field
자 이제
일단
또
자 이번엔
For
다음은 위의 두 집합을
그다음은 countable subadditivity를 사용하여 첫 번째 항을 제외하고 나머지 항을 합집합 하겠습니다.
정리하면
다시 countable subadditivity를 적용합시다.
우리가 처음에
이번엔 Closed under difference를 보이겠습니다.
그런데 우리가 교집합(intersection)에 대해 닫혀있음을 보였으므로 complement에 대해 닫혀있음을 보이는 것만으로 충분합니다. 왜냐면
이건 진짜 쉽습니다. 설명 없이 수식만 쓰겠습니다.
즉,
자 아직,
그리고
이제
다음엔
자 이 과정을 마지막 항에 반복해 주면 됩니다! 과정이 쉽게 예측이 되겠죠.
n번 반복했을 때
가 됩니다.
그러면 monotonicity와 subadditivity에 의해
가 성립합니다.
왜 그럴까요?
먼저
라고 할 수 있습니다. 뒤의 항만 바꾼 겁니다.
왜냐하면
이제 n을 무한대로 보내봅시다. 그러면
자 식을 더 전개하겠습니다.
아까와 같은 테크닉으로 부등식의 처음과 끝이 같으니 모두 등호가 성립합니다.
즉,
이는
즉,
step5) - countable additivity
자 위의 등호가 모두 성립한다고 했으니
여기에 E가 아닌 B를 넣어봅시다.
그러면
아하!
이건 countable additivity입니다! 그리고 outer measure가 measure로 extend 된다는 의미입니다!
우리는 이제
다시 정리하며 그 이유를 확실히 알아보죠.
1. 우리는 set function
2. 이는
3. 그런데
4. 그럼
5.
결론
Carathéodory's extension theorem에 대해 증명해 보았습니다.
우리가 ring에서 pre-measure를 잘 정의하면 그 ring으로부터 만든
아직 uniqueness는 증명하지 않았습니다.
워낙 학부에서 잘 다루지 않는 내용인 것 같아 누군가에게 도움이 될지는 모르겠지만 혹시나 글을 읽게 되신다면 도움 되시길 바랍니다.
다음 uniqueness posting으로 뵙겠습니다.
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