해석학 정리 1 수열의 극한 예제 문제 풀이1(Bartle and Sherbert)

 

서론

해석학을 복습하면서 내용을 정리해두자는 생각이 들었습니다.

너무 초반 부분은 제외하고 수열의 극한정도부터 정리하면 좋을 것 같고 측도론까지 쭉쭉 이어나가면 좋을 것 같네요.

 

제가 너무 잘 알고 있는건 안 다루고 싶고, 헷갈릴만한 것들을 저장해두려 합니다.

이번에는 수열의 극한을 다룰 것이고 예제 문제들을 풀어 정리하겠습니다.

물론 제가 이해한 것이나 푼 문제를 적기 때문에 틀릴 수 있습니다...! 참고해 주세요 ㅎ

 

본 포스팅은 Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to real analysis (4th ed.). Wiley를 참고합니다.

본론

간단한 예제부터 시작합시다. 천천히 올라가는 게 좋아 보이네요.

 

example 3.1.6

(a) $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$

 

sol) Archimedean Property를 사용하는 문제입니다. Archimedean Property는 어떤 실수를 잡아도 그보다 더 큰 자연수가 있다는 뜻이었죠?

 

Let $\epsilon > 0$. $\epsilon$을 잡읍시다. 나중에 $\epsilon$이 arbitrary 하다고 할 건데요! 임의의 $\epsilon$에 대해 다 성립함을 보인게 됩니다.

 

$\frac{1}{\epsilon}$을 생각합시다. 그러면 이 숫자도 실수이기 때문에 Archimedean Property에 의해 $\frac{1}{\epsilon} < N$을 만족하는 N이 존재합니다. 그리고 N보다 큰 자연수들도 다 이 부등식을 만족합니다.

그러면 $\epsilon > \frac{1}{N}$이 만족할 것이고, $N \leq n$을 만족하는 n들도 $\epsilon > \frac{1}{n}$을 만족합니다.

거의 끝났네용.

 

$|\frac{1}{n}-0| = \frac{1}{n}$ 이고 $N \leq n$에 대해 $\frac{1}{n} < \epsilon$이 성립합니다.

 

적당한 N을 잡아서 그 보다 큰 n들에 대해 $|\frac{1}{n}-0|$이 $\epsilon$보다 작음을 보였습니다.

그리고 $\epsilon$이 arbitrary 하므로 아무 $\epsilon$에서나 다 성립하고 증명 끝입니다.

 

다음 문제부터는 Archimedean Property와 arbitrary관련 내용은 생략해서 증명하겠습니다 :)

 

(b) $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(n^2+1)} = 0$

이 문제는 (a)을 활용합니다.

 

Let $\epsilon >0$.

For all $n \in \mathbb{N}$, following inequality holds.

 

$$\frac{1}{(n^2+1)} < \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$$

 

음~ 우리는 $\frac{1}{n}$을 $\epsilon$보다 작게 하는 N을 (a)에서 찾았군요!

By (a), we can choose $N$ s.t if $n \geq N$, then $\frac{1}{n} < \epsilon$.

 

그러면 자연스럽게 위의 부등식에 의해 $n \geq N \longrightarrow \frac{1}{(n^2+1)} < \frac{1}{n} < \epsilon$가 성립합니다.

$|\frac{1}{(n^2+1)}-0| = \frac{1}{(n^2+1)}$ 이므로 증명 끝입니다.

 

 (c) $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n+2}{(n+1)} = 0$

위와 완전 같은 방식이기 때문에 간단히 부등식 하나만 적고 설명하겠습니다.

 

$$|\frac{3n+2}{(n+1)}-3| = |\frac{3n+2-3n-3}{(n+1)}| = |\frac{-1}{n+1}|  = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$$

 

또 $\frac{1}{n}$보다 작죠? (b)와 똑같은 방식으로 N을 잡읍시다. 그러면 끝!

 

(d)$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0$

Let $\epsilon > 0$.

요거는 고등학생 때처럼 $\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$을 곱해줌으로 처리합시다.

 

계산을 해보면 $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$이 나옵니다. 분모는 작아질수록 수가 커집니다. 그러므로 $\sqrt{n+1}$을 떼어보면 더 큰 수가 되겠죠.

$$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}$$

 

우리는 $\frac{1}{n}$에 대해서는 이제 적당한 N을 잡아줄 수 있는데 새롭게 제곱근이 붙었습니다.

이 문제는 거꾸로 생각해 보며 풀어봅시다. $\frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon$을 만족하게 하려면 어떻게 해야할까요?

n에 대해 정리해 보면 $n > \frac{1}{\epsilon^2}$이 성립하겠습니다. 오 그러면 n이 $\frac{1}{\epsilon^2}$보다만 크면 위의 식이 성립하네요. 우리는 그러한 N이 항상 존재하고 선택할 수 있음을 알고 있습니다.

즉,  $N > \frac{1}{\epsilon^2}$을 선택하면 $n \geq N$ 일 때 $|(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})-0| <\frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon$ 이 성립하겠네요!

 

(e)If $0 < b < 1 $, $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} b^n = 0$

Geometric Sequence의 Convergence에 대한 식입니다.

 

Let $\epsilon > 0$.

 

(d)번에서 생각한 거꾸로 생각하기를 다시 연습해 봅시다.

$|b^n-0| = b^n$ 이니까 $b^n < \epsilon$을 만족하는 n의 조건을 생각합시다. 양변에 log를 씌워주면 어떨까요? 다음과 같겠죠!

 

$$b^n < \epsilon \leftrightarrow n\log b < \log \epsilon \leftrightarrow n > \frac{\log \epsilon}{\log b}$$

 

아하 n은 $\frac{\log \epsilon}{\log b}$보다 크기만 하면 우리가 원하는 극한의 식을 만족합니다. 즉 N을 $\frac{\log \epsilon}{\log b}$보다 큰 수로 잡읍시다.

(노파심에 언급하지만 $\frac{\log \epsilon}{\log b}$도 하나의 실수이기 때문에 Archimedien Property에 의해 더 큰 N이 존재합니다.)

 

그러면 증명 끝! if $n > N$이면, $|b^n - 0| < \epsilon$이 성립합니다~

 

결론

오늘은 5개의 example의 풀이를 해보았습니다. 가장 기초가 되는 문제들이고 기초인 만큼 잘 알아두어야 advanced한 문제들을 잘 풀 수 있습니다.

 

다음엔 squeeze Theorem을 활용한 예제를 가져와 보겠습니다.

 

다들 화이팅!