대충 써보는 서울대 매스부트캠프 1일차 (1/2) from Riemann integral to compactness

서론

본격적으로 3월에 입학하기 전 통계학과에서 막 수학 공부를 시켜주는게 있다.

이름하야 매스부트캠프. 

엄청난 속도로 수학 진도를 나간다는 소문만 들었는데 오늘 그 첫 수업을 들었다. 그나마 조금 알고 있던게 도움은 됐는데 복습을 한 번 해보자.

이 글은 진짜 그냥 생각나는대로 이해한대로 휘갈겨 쓰는 글이 될 것으로 예상한다.

 

본론

1. Measure Theory

시작부터 측도론이다. 지난 번에 찍먹 측도론 글을 올린게 도움이 됐다.

1.1 Introduction

먼저 Riemann integrable에 대해 다뤘다. Riemann integrable한 것은 뭐 먼저 [a,b]에 Partition을 주는 걸로 시작한다. 아마 [a,b]인 이유는 Heine-Borel에 의해 compact set이고 compact set 위에서 continuous하면 uniformly continuous이기 때문일 것이다. uniformly countinous하면 두 함수 값이 $\delta$보다 가까울 때 partition의 각 구간에서 sup과 inf의 차이를 $frac{\epsilon}{b-a}$보다 작게 만들 수 있을 것이고, 결국 상합-하합 = U-L이 $\epsilon$보다 작아진다. 구간의 길이를 모두 더하면 b-a니까.

 

또 partition을 더 잘게 쪼개는 것을 생각해보자. partition의 점들을 모두 포함하면서 더 잘게 쪼개는 것을 refinment라고 하는데 refinment를 하면 상합인 U는 감소하고 하합인 L은 증가한다. 당연하다. 각 구간에 값을 할당한다고 생각해보자. 큰 값을 할당하고 있었는데 쪼개지면 쪼개진 구간은 더 작은 값을 할당받을 수는 있지만 더 큰 값을 할당받을 수는 없다.

 

[0,1]에서 정의된 f(x)가 $\mathbb{Q}$에서는 1 나머지에서는 0이라고 해보자. 그러면 얘는 당연히 Riemann integrable하지 않다. 어떤 partition을 잡아도 U = 1, L = 0 이니까.

근데 [0,1]에서 무리수가 대부분이고 유리수는 거의 없으니까 사실 저 함수는 적분해서 0이 나와야하지 않을까?(라는 생각을 누가 했다고 한다.)

리만적분은 x를 나누고 그 y값의 범위를 나타냈는데, 르벡 적분은 이제 그렇게 하지 않는다고 한다. 솔직히 아직 잘 모른다 ㅋㅋㅋ.

 

사람들이 실수의 모든 부분 집합에 대해 measure를 주고 싶었는데 실패했다. 자세한건 내 찍먹 측도론 글을 보는 걸로하고.

실수의 모든 부분 집합은 $2^\mathbb{R}$로 쓴다. Powerset이다. 구간 (a,b)가 있을 때 그의 길이를 b-a로 주는 방법은 하여튼 실패, 그런데 생각한게 $2^\mathbb{R}$에서 measurable한 애들만 모여있는 집합을 찾을 수 있지 않을까?

뭐 그랬다고 한다. 뒤에서 $sigma$-field를 다루면서 더 얘기하자.

 

1.2 Topology

아 사실 나는 수학과에서 위상수학을 안듣고 왔다. 진짜 오늘 힘들었다. 이거 때문에

Preimage를 잘 알 필요가 있다. 제발

근데 개념은 개 쉽다. 역함수 아니고 $f^{-1}(B)$ 이렇게 쓰는데, B는 집합이다. B에 속하는 애들을 함숫값으로 갖는 값들을 모아놓은 집합을 출력하는 함수다.

근데 중요한 성질이 exchangible하다는 것. 대표적으로 아래.

$$f^{-1}(B^c) = (f^{-1}(B))^c$$

 

합집합도 뺄 수 있고, 교집합도 뺄 수 있다. 시간이 없으니 얘는 패스. 증명도 easy하다. 걍 x 하나가 좌변이나 우변에 속한다고 가정하고 나머지에 들어있음을 보이면 된다. 끝.

 

Def of Topology

Definition of Topology

아 Topology는 위상수학이라는 뜻인줄만 알았지, 이런 뜻이 있는줄 몰랐다.

 

핵심만 기억하자.

1. 공집합과 자기 자신 포함

2. possibly uncountable union도 자기 자신으로 포함

3. finite intersection도 자기 자신에 있음(근데 이거 왜 finite여야함???, 누가 좀 알려줘)

4. X라는 set의 topology를 $\tau$라고 하는데 (X,$\tau$)를 topological space라고 함.

5. 모든 topology는 $\pi$-system임. ($\pi$-system은 뒤에서 다룰건데 정의 자체가 겹쳐서 당연함)

 

해석개론에서는 open set이라고 하면 어떤 set의 모든 point들에 대해 각 $\epsilon$-neighborhood를 잡을 수 있어서 그것이 set에 포함될 때 open이라고 하기로 했었는데,

이제는 Topology에 속하는 것을 open set이라고 부르기로 한다고 한다.

그래서 원래 알던 정의는 실수에서만 사용되는 정의인가보다 생각하고 있었는데 [a,b)의 union의 collection들도 topology가 될 수 있으니까, 그런 경우에는 [a,b)도 openset이라고 부르나보다. 신기하다.

 

X,Y가 topological spaces라고 하자. 그러면 A function $f : X \rightarrow Y$ 가 continuous라는 것은 모든 Y의 openset 즉, topology에 속하는 원소들에 대해 preimage가 open이라는 뜻이다.

 

직관 : Openset은 비슷한 걸 모아놓은게 아닐까? 그러면 topology의 정의와도 부합한다. 비슷한걸 합집합해도 비슷한 것들의 모임이고, 무한교집합하다보면 비슷하지 않은게 나오기도 하니까(why? 왜 그럴까) finite 교집합만을 한 것들의 모임이다. 그러면 continuous는 비슷한 것을 비슷한 것들로 잘 mapping해주는 성질을 의미하는 것이다. 그래서 이제 거리가 없어도 수렴을 정의할 수 있는거 아닐까?

걍 수업 때 들은 내용이랑 내 생각이랑 짬뽕해봤다. 적당히 걸러듣자.

 

Compact

컴팩트는 그래도 해석학에서 많이 해서 친숙한 개념이다. open cover가 있다면 항상 finte subcover가 존재하는 set이다. 무한한 것을 유한한 것으로 해석할 수 있게 해주는 개념이고 topolgical space에서는 또 다른 직관을 얻을 수 있을 것 같다. 근데 다 까먹어서 에라이 머리 좀 굴려야겠다.

 

X is metric space. folloings are equivalent.($K \subset X$) - metric space면 $\epsilon$을 잡을 수 있겠다~

(a) K is compact in X.

(b) K is sequentially compact in X, i.e. every sequence in K has a convergent subsequence whose limit is in K.

(c) K is complete and totally bounded, i.e. for any $\epsilon > 0$ there exists a finite collections of open balls in K of radius $\epsilon$ whose union contains K.

 

(b)

Compact하면 sequentially compact하다. 이거 bolzano-weierstrass thm이랑 똑같다. 그럼 compact이면 모든 sequence가 bounded임을 보이면 될 것 같다. 일단 Heine-Borel thm에 의해 , $\mathbb{R^d}$일 때는 자명하다.

(여기부터 뇌피셜)

general에서는 그냥 sequence $X_i$에 대해 $\forall i$ $X_i$를 중심으로 하는 open set을 잡으면 되지 않을까? 어차피 topology에 전체 집합 $X$가 포함되어 있으니까 open cover의 존재성은 보였고, 그러면 finite subcover 안에 sequence가 존재해야하니까...뭔가 bounded 같은 느낌?

generally 증명은 찾아봐야겠당.

(여기까지)

 

(c)

complete는 모든 sequence의 수렴값이 다 내부에 존재한다는 뜻이고, totally bounded는 모든 $\epsilon$에 대해 $\epsilon$ -radius의 ball로 구성된 finte cover가 존재한다는 뜻 ㅎ

 

complete여야 boundary에 끊어진 부분 없이 잘 모양이 형성돼서 totally bounded가 성립한다!

아래 같은 모양이면 complete가 아니다. totally bounded도 될 수 없다.

 

출처 : https://www.reddit.com/r/mathmemes/comments/1euaj15/i_propose_we_call_this_an_oplosed_set/?rdt=56889

RMK

Euclidian space($\mathbb{R}^d$)에서는 compact iff closed and bounded 이다.

 

그런데 일반적인 metric space에서는

If compact, then closed and bounded 이지만 그 converse는 성립하지 않는다.

 

Example

Let $f : X \rightarrow Y$ be a continous function where X and Y are topological space.

Let $K \subset X$ be compact and $F \subset X$ be closed set in X.

 

(a) If $F \in K$, show that F is compact.

 

compact set의 closed subset은 항상 compact 라는 뜻이다. 증명할건데 아이디어가 참 좋다.

 

일단 $F$의 open cover $\mathcal{C}$가 있다고 하자. 그러면 당연히 $\mathcal{C} \space \cup \space \{F^c\}$는 $K$의 open cover이다. 왜? $\mathcal{C}$도 open이고 $F$가 closed이므로 그 complement인 $F^c$도 open이기 때문이다. 심지어 $K$가 아니라 $X$까지도 덮어버린다.($\{F^c\}$로 쓰는 이유는 $\mathcal{C}$가 family of sets이기 때문)

$K$가 compact이므로, finite subcover $D \subset \mathcal{C} \space \cup \space \{F^c\}$가 존재하고 이 $D$는 $K$를 덮기 때문에 $F$도 덮는다.

즉, $F$의 open cover가 존재하면 finite subcover가 존재한다는 사실.

$\therefore$ $F$ is compact.

 

(b) Let $K \subset X$ be compact in $X$. Show that if $f$ is continuous, $f(K)$ is compact in Y.

 

먼저 $\mathcal{C}'$ 를 $f(K)$의 open cover라고 하자. That is, $\displaystyle f(K) \subset \bigcup_{C' \in \mathcal{C}}C'$.

continuous의 정의에 따라 $f^{-1}(C')$도 open이다. 곧, $\displaystyle K \subset \bigcup_{C' \in \mathcal{C}}f^{-1}(C')$이기 때문에 open cover를 갖는 것이고 K는 compact이므로 finite subcover를 갖는다.

다시 그 finite subcover는 K를 덮고 그 각각을 f로 보낸건 f(K)의 open cover가 된다. 'f(K)의 open cover가 된다'에서 cover인 이유는 K를 덮고 있기 때문이고 open인 이유는 preimage들이기 때문이다.

즉, f(K)를 덮는 finite subcover가 존재하므로 compact이다.

 

결론

공부할게 너무 많다...아직도 한참 남았다 ㅋㅋㅋㅋ

다음은 Measurablity부터 Monotone class argument까지...

 

이 때까지가 그래도 좋았다...