푹 찍어 먹는 확률론 5-1 확률변수의 연산

 

 

서론

지난 포스팅에서는 확률변수란 무엇인지 배웠습니다.

확률변수는 Real-Valued Measurable function이라고 할 수 있었죠!

 

이번 시간에는 이 확률변수들의 연산한 것도 확률변수가 됨을 보이겠습니다.

 

원래 연속함수를 확률변수에 씌워도 확률변수입니다만 그에 대한 것은 추후 포스팅하겠습니다.

 

오늘 확인할 내용은 총 4가지이고 아래와 같습니다. 체크해 보겠습니다.

$c$ : constants

1) $c+X$

2) $cX$

3) $X+Y$

4) $XY$

 

마지막 추가로 $\sup X_n, \inf X_n, \limsup X_n, \liminf X_n$도 알아보죠!

본론

If $X$ is a r.v., then $c+X$ is also a r.v.

 

상수배를 한 것도 확률변수라는데요. 직관적으로 당연합니다.

 

예를 들어, 주사위가 있다고 해보죠. 주사위의 1의 눈을 1, 2의 눈을 2...6의 눈을 6에 대응시키는 확률변수를 생각합시다.

여기서 상수 1을 더해서 주사위의 1의 눈을 2, 2의눈을 3... 6의 눈을 7에 대응시켜도 당연히 확률변수가 되지 않겠어요?

 

사실 이건 당연한 것이지만 확률론의 format에 맞게 잘 증명해 봅시다.

 

proof)

$\forall a\space (c+X < a) = (X < a-c) \in \mathcal{F}$ $\blacksquare$

 

증명이 끝났습니다. 우리는 어떤 $X$가 r.v.임을 보일 때 모든 $(-\infty,a)$구간에 대해 $X^{-1}((-\infty,a)) \in \mathcal{F}$이면 r.v이 됨을 이전 포스팅에서 보였습니다. $\sigma(\{(\infty,a) ,\space \forall a \})$ 가 $B(\mathbb{R})$이 되기 때문입니다.

 

즉, $(X \in (-\infty,a))$를 $(X < a)$라고 지금부터 쓴다면 위의 증명이 자명하게 성립합니다.

$(X < a)$와 같이 표현을 써도 되느냐라는 질문에서는 이런 조건을 만족하는 $\omega$들의 집합이라고 생각하면 두 표기방식이 같은 의미가 될 거라고 생각할 수 있겠습니다.

 

$cX$ is also r.v.

 

$cX$도 마찬가지입니다.

 

proof)

$$\forall a \space (cX<a) =
\begin{cases}
(X < a / c) \in \mathcal{F} & \text{if } c > 0, \\
(X > a / c) \in \mathcal{F} & \text{if } c < 0.
\end{cases}
$$

$\blacksquare$

 

$X$는 r.v.이므로 c가 양수던 음수던 위의 구간들의 preimage를 모두 $\mathcal{F}$로 보내버립니다.

 

$(-\infty,a)$에 $\sigma$를 씌우면 $B(\mathbb{R})$이 되기 때문에 이 interval cases에 대해서만 생각해도 되겠습니다.

 

If $X \space\& \space Y$ are r.v So are $X+Y \space\& \space XY$ 

 

proof)

 

$\forall \space a \in \mathbb{R}, (X+Y < a) = (X < a-Y)$

 

여기서 $\mathbb{Q}$를 denumeration합시다. $\mathbb{Q}$는 countable이므로 자연수처럼 하나하나 셀 수 있습니다. 즉, $r_1,r_2,...$처럼 자연수를 붙여줄 수 있습니다.

또한 $\mathbb{Q}$는 dense하므로

 

$ = (X(\omega) < r_i < a-Y(\omega)) \space \forall \omega \in (X < a-Y) \space \exists r_i  \in \mathbb{Q}$

$\displaystyle = \bigcup_{i=1}^{\infty} (X<r_i<a-Y)$

 

여기가 좀 tricky한데 일단 제 메모 하나 투척하겠습니다.

자 우리는 $(X<a-Y)$를 만족하는 $\omega$의 set을 찾고 있습니다. 그러면 저 set에 속하는 = $X(\omega) < a-Y(\omega)$를 만족하는 $\omega$가 있다고 해봅시다. 그러면 그 $X(\omega)$와 $a-Y(\omega)$ 사이에는 어떤 유리수가 존재하게 됩니다. 그러므로 모든 유리수에 관해 $\displaystyle = \bigcup_{i=1}^{\infty} (X <r_i<a-Y)$ 와 같이 합집합을 한다면 $(X<a-Y)$를 포함합니다.

 

 

그러면 반대로 생각해 봅시다.

어떤 $X(\omega) < a-Y(\omega)$의 범위에도 속하지 않는 유리수 $r_i$가 있다고 해봅시다. 그러면 $(X< r_i < a-Y)$라는 집합은 그냥 공집합이 되겠죠.

만약 속하게 하는 $\omega$가 있다면 애초에 $X(\omega) < a-Y(\omega)$도 만족하게 할 겁니다.

즉, 그런 $\omega$들을 모은 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} (X <r_i <a-Y)$ 에서 $\omega$를 선택하면 $(X<a-Y)$에 들어 갑니다. 즉 $(X<a-Y)$에 포함됩니다.

 

직관적으로 같음을 유추할 수도 있지만 간단히 증명해 보면 이렇겠네요.

 

$\displaystyle \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (X < r <a-Y)$로 다시 쓰면,

 

$\displaystyle = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (X < r) \cap (r<a-Y)$ 이고,

 

$(X<r) \in \mathcal{F} \space \& \space (Y<a-r) \in \mathcal{F}$이고 $\mathcal{F}$가 $\sigma$-field여서 교집합과 합집합에 닫혀있으므로,

 

$\displaystyle \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (X < r< a-Y) \in \mathcal{F}$

$\Rightarrow$

$\therefore (X+Y<a) \in \mathcal{F}$

 

XY를 증명하기 전 Note

사실 그냥 증명할 수도 있는데 귀찮으니 조금 돌아갑시다.

$X^2$ is a r.v.

 

proof)

$$
\forall \space a \in \mathbb{R} \space (X^2 < a) =
\begin{cases}
\emptyset \in \mathcal{F} & \text{if } a \leq 0, \\
(-\sqrt{a} < X < \sqrt{a}) \in \mathcal{F} & \text{if } a > 0.
\end{cases}
$$

 

모든 $a$의 case에서 $mathcal{F}$에 $(X^2<a)$가 속하므로 $X^2$는 r.v.입니다.

 

즉, $XY = \frac{1}{4} ((X+Y)^2-(X-Y)^2)$ 이므로 r.v의 차에 상수곱이니 r.v라고 할 수 있겠습니다!

 

If $X_n, n \geq 1$ are r.v.s., $\sup X_n, \inf X_n, \limsup X_n, \liminf X_n$ are also.

 

이거 처음엔 헷갈렸는데, pointwisely sup,inf...을 생각하면 됩니다~

각 $\omega$마다 sup,inf,limsup,liminf를 구한다고 생각하면 됩니다!

 

증명을 할까 말까 하다가 간단히만 적어보겠습니다.

 

proof)

inf

$\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} \space (\inf_n X_n <a) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (X_n <a) \in \mathcal{F}$

 

모든 $\omega$들에 대해 그 infimum이 a보다 작은 애들을 모아 놓읍시다. 그러면 그에 속하는 $\omega$는 하여튼 어떤 $X_n$에서는 a보다 작습니다. $\bigcup_{n=1}^{\infty} (X_n <a)$에 들어가는 $\omega$도 하여튼 infimum이 a보다는 작습니다.

그러므로 서로 같은 집합입니다. 근데 $X_n$이 r.v.s이므로 끝.

(inf가 a보다 작다는 건 하여튼 뭐가 a보다 작다는 것과 동치입니다.)

 

sup

$\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} \quad (\sup_n X_n > a) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (X_n >a) \in \mathcal{F}$

 

(sup이 a보다 크다는 건 하여튼 뭐가 a보다 크다는 것과 동치입니다.)

 

liminf

$\displaystyle \liminf_n X_n = \sup_n \inf_{m \geq n} X_m$

 

limsup

$\displaystyle \limsup_n X_n = \inf_n \sup_{m \geq n} X_m$

 

정의대로 분해하고 위의 inf와 sup에 대한 증명으로 끝.

조금 덧붙이자면 $\inf, \sup$은 monotone하기 때문에 차피 수렴하는데 그 수렴을 $\lim$으로 하나 아님 각각 앞에 $\sup,\inf$를 붙여주나 똑같습니당.

결론

오늘은 확률변수의 연산에 관해 증명해 보았습니다.

상수의 합과 곱, r.v.의 합과 곱에 대해 항상 r.v.된다는 것을 알게 되었습니다.

추가로 4가지 sup,inf,limsup,liminf에 대해서도 알아보았네요.

 

다음에는 approximation에 대해 알아봅시다.

 

끗.