measure5 대충 써보는 서울대 매스부트캠프 1일차 (1/2) from Riemann integral to compactness 서론본격적으로 3월에 입학하기 전 통계학과에서 막 수학 공부를 시켜주는게 있다.이름하야 매스부트캠프. 엄청난 속도로 수학 진도를 나간다는 소문만 들었는데 오늘 그 첫 수업을 들었다. 그나마 조금 알고 있던게 도움은 됐는데 복습을 한 번 해보자.이 글은 진짜 그냥 생각나는대로 이해한대로 휘갈겨 쓰는 글이 될 것으로 예상한다. 본론1. Measure Theory시작부터 측도론이다. 지난 번에 찍먹 측도론 글을 올린게 도움이 됐다.1.1 Introduction먼저 Riemann integrable에 대해 다뤘다. Riemann integrable한 것은 뭐 먼저 [a,b]에 Partition을 주는 걸로 시작한다. 아마 [a,b]인 이유는 Heine-Borel에 의해 compact set이고 compact s.. 2025. 2. 6. 2 누적분포함수의 성질 / 연속,이산확률변수의 정의 (feat. measure, 좌연속(left continuous)은 왜 안됨?) 서론누적분포함수(c.d.f)란 무엇일까요?처음 배울 땐 이 개념이 참 막막했습니다. 누적분포함수를 확률밀도(or 질량)함수의 적분 정도로 생각했기 때문입니다.이게 대체 뭐가 중요한건지, 왜 알아야하는건지 잘 몰랐습니다. 그런데 수리통계학을 공부하며 하나하나 알아가보니 생각보다는 쉬웠던 것 같습니다.이번 시간에는 함께 누적분포함수의 정의와 성질을 알아보면서 이것이 무엇인지 알아가봅시다. 본 포스팅은 Statistical Inference(2rd, George Casella, Roger L. Berger) 및 수리통계학(2012, 김우철)의 내용을 참고하였습니다.본론본론에서는 누적분포함수를 cdf, 확률밀도함수를 pdf라고 하겠습니다. 확률밀도함수 pdf와 누적분포함수 cdf는 확률변수가 어떤 분포를 따르는.. 2025. 1. 13. 찍먹 측도론 3 Dynkin $\pi - \lambda$ theorem(Dynkin Pi-lambda theorem) 서론지난 시간에는 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보았습니다. 그런데 이 정리에서 $\sigma$-finite라는 조건을 추가했을 때는 그 measure가 unique 하게 존재합니다.이는 Probability measure에서 일반적인 상황입니다. 그렇다면 한 번 증명해봐야겠죠? 이 uniqueness를 증명하기 위한 초석은 Dynkin $\pi - \lambda$ theorem을 증명하는 것입니다.이를 위해 $\pi$ system과 $\lambda$ system에 대해서도 차근차근 알아보죠! 본론Definition of $\pi$ system$\pi$ system의 정의부터 찬찬히 알아봅시다. 다음은 그 서술입니다.A collection of $\mathcal{A.. 2024. 7. 11. 찍먹 측도론2 Carathéodory's extension theorem and proof 서론오늘은 Carathéodory's extension theorem에 대해 알아보겠습니다. (완벽 증명) 이 정리는 정말 좋은 정리인데요! Ring에서 pre-measure를 잘 정의하면 이를 mesure로 잘 확장할 수 있다는 뜻입니다. 이 정리의 필요성에 대해 생각해 봅시다.어떤 $\Omega$의 $\mathcal{P} (\Omega)$에 대해 measure가 쉽게 정의되지 않습니다. Lebesgue measure에 대해 Vitali set을 생각해 보면 직관적으로 존재해야 할 것 같은 measure에도 그 값이 존재하지 않을 수 있죠. 그런데 Carathéodory's extension theorem은 이런 경우를 배제하고 measure가 잘 존재하도록 하는 방법에 대해 알려줍니다.한 번 그 과.. 2024. 7. 8. 이전 1 2 다음
