L2norm is continuous.

 

 

서론

https://juhongyee.tistory.com/97

bias, variance of KDE - 증명[2]

위의 글에서 $\int \text{bias}^2 dx$ 파트에서 LDCT를 증명하기 위해 $L_2$ norm이 continuous하다는 것을 사용했습니다.

증명을 간단히 적어놓겠습니다.

 

함수해석학의 증명이 들어갑니다. 인터넷 어디서 Terence Tao가 쓴 무슨 solution을 보고 공부했습니다.

 

본론

Claim : $\displaystyle \lim_{h \to 0} \|f''(x-wht) - f''(x)\|_2 = 0$

 

proof)

Let $C_c(\mathbb{R})$ be $\{ \text{continuous functions on } \mathbb{R} \text{ with compact support}\}$.

Let $\epsilon > 0$ and $g \in C_c(\mathbb{R})$ s.t. $\|f''-g\|_2 \epsilon$.

이런 $g$의 존재성은 아마 $f \in L_2$로부터 나올 겁니다. support를 $[-k,k]$하에서 $f''$와 같은 g를 잡으면 되겠죠.

 

$$\begin{aligned}\|f''(x-wht)-f''(x)\|_2 &\le \|f'(x-wht) - g(x-wht)\|_2 + \|g(x-wht)-g(x)\|_2 + \|g(x)-f''(x)\|_2 \\&= 2\epsilon + \|g(x-wht)-g(x)\|_2\end{aligned}$$

 

$g \in C_c \Rightarrow g$ is uniformly continuous.

 

So, $\|g(x-wht) - g(x)\|_2 \to 0$ as $h \to 0$

 

$\displaystyle \therefore \operatorname{limsup}_{h \to 0} \|f''(x-wht)-f''(x)\|_2 \le 2\epsilon \quad \forall \epsilon$

$\Rightarrow \|f''(x-wht)-f''(x)\|_2 \to 0$ as $h \to 0$

 

결론

compact set위의 연속함수를 통해 $L_2$ norm이 continuous함을 보였습니다.

 

끗!